Seja z=y+f(x^2-y^2), onde f é diferenciável. Mostre que
y partial zpartial x+x partial zpartial y=x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função y partial zpartial x + x partial zpartial y = x , onde é uma função diferenciável. A tarefa é mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e e depois substituir esses resultados na expressão que queremos provar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = partialpartial x ( y + f(x^2 - y^2) ) em relação a partial zpartial x = f'(x^2 - y^2) cdot partialpartial x (x^2 - y^2) = f'(x^2 - y^2) cdot 2x .
Aqui, é tratado como uma constante em relação a , então a derivada de em relação a é zero. Portanto:
Onde representa a derivada de em relação ao seu argumento.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = partialpartial y ( y + f(x^2 - y^2) ) em relação a partial zpartial y = 1 + f'(x^2 - y^2) cdot partialpartial y (x^2 - y^2) = 1 + f'(x^2 - y^2) cdot (-2y) .
Aqui, a derivada de em relação a é 1, e aplicamos a regra da cadeia para o termo envolvendo :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos substituí-las na expressão que queremos provar:
y partial zpartial x + x partial zpartial y = y cdot (2x f'(x^2 - y^2)) + x cdot (1 - 2y f'(x^2 - y^2))
Simplificando os termos:
= 2xy f'(x^2 - y^2) + x - 2xy f'(x^2 - y^2) = x
Os termos com se cancelam, restando apenas .

Resposta

Depois de calcular e simplificar, mostramos que .

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