Calcule a massa específica dos seguintes materiais:
\mathrm{BaTiO}_{3}
Dados:
\mathrm{R}_{\mathrm{Al}}=0,143 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Fe}}=0,124 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Ti}}=0,145 \mathrm{~nm}
\mathrm{A}_{\mathrm{Al}}=26,98 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}
\mathrm{A}_{\mathrm{Fe}}=55,85 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}
\mathrm{A}_{\mathrm{Ti}}=47,87 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a massa específica do material \mathrm{BaTiO}_3.
O que foi fornecido no enunciado:
  • Raios: R_{\mathrm{Al}}=0{,}143\\ \mathrm{nm}, R_{\mathrm{Fe}}=0{,}124\\ \mathrm{nm}, R_{\mathrm{Ti}}=0{,}145\\ \mathrm{nm}.
  • Massas atômicas: A_{\mathrm{Al}}=26{,}98\\ \mathrm{g/mol}, A_{\mathrm{Fe}}=55{,}85\\ \mathrm{g/mol}, A_{\mathrm{Ti}}=47{,}87\\ \mathrm{g/mol}.
O que falta e que é essencial para calcular a massa específica de \mathrm{BaTiO}_3:
  • Não foram fornecidas a massa atômica de \mathrm{Ba} nem de \mathrm{O}.
  • Os raios fornecidos parecem ser raios atômicos/metálicos (Al, Fe, Ti) — para um óxido iônico como \mathrm{BaTiO}_3 é necessário usar raios iônicos (por exemplo R_{\mathrm{Ti}^{4+}} e R_{\mathrm{O}^{2-}}) ou então o parâmetro de rede a da estrutura cristalina. Esses raios iônicos / parâmetro de rede não foram fornecidos.
  • Também é necessário saber a estrutura cristalina (para \mathrm{BaTiO}_3 usualmente considera-se a estrutura perovskita; isso define quantas fórmulas por cela unitária Z).
Resumo: com os dados exatamente como vieram (só massas e raios de Al e Fe e raio atômico de Ti) não é possível calcular corretamente a massa específica de \mathrm{BaTiO}_3 porque faltam a massa atômica de Ba e de O e faltam os raios iônicos ou o parâmetro de rede.

Passo 2

Vou explicar o método padrão para calcular a massa específica (densidade) de um sólido cristalino do tipo perovskita, de modo que você saiba exatamente o que fazer na prova.
Fórmula geral usada:
\rho = \frac{Z\,M}{N_A\,V_{\text{cel}}}
onde:
  • \rho é a massa específica (densidade) em \mathrm{kg/m^3} ou \mathrm{g/cm^3};
  • Z é o número de fórmulas unitárias por cela unitária (sem dimensão);
  • M é a massa molar da fórmula química em \mathrm{kg/mol} (ou \mathrm{g/mol} conforme unidades, veja conversões abaixo);
  • N_A é a constante de Avogadro, N_A=6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}};
  • V_{\text{cel}} é o volume da cela unitária em \mathrm{m^3} (ou \mathrm{cm^3} se preferir).
Explicação didática de cada termo:
  • Z: conta quantas unidades da fórmula cabem na cela. Para a perovskita cúbica ideal AB\mathrm{O}_3 (estrutura do tipo \mathrm{BaTiO}_3 na fase cúbica) tem-se Z=1 fórmula por cela (os átomos A estão nos 8 cantos somando 1, B no centro somando 1, e 3 oxigênios nas faces somando 3 → dá 1 fórmula AB\mathrm{O}_3).
  • M: calcula-se somando as massas atômicas: para \mathrm{BaTiO}_3,
M = A_{\mathrm{Ba}} + A_{\mathrm{Ti}} + 3 A_{\mathrm{O}}.
  • V_{\text{cel}}: se a cela é cúbica de aresta a então V_{\text{cel}}=a^3. Para a perovskita cúbica a relação entre a e os raios iônicos é aproximadamente
a \approx 2\left(R_{B} + R_{\mathrm{O}}\right),
porque o íon B (aqui \mathrm{Ti}^{4+}) está no centro da cela e os oxigênios nas faces; a distância B–O é a/2. Importante: nessa relação usam-se raios iônicos (coordenação 6 para Ti em perovskita e coordenação 6 para O em muitos óxidos), não os raios metálicos/atômicos.

Passo 3

Observação sobre os dados que você enviou e quais raios usar:
  • O valor que você deu R_{\mathrm{Ti}}=0{,}145\\ \mathrm{nm} parece corresponder a um raio atômico/metálico (1,45 Å), enquanto o raio iônico de \mathrm{Ti}^{4+} em coordenação octaédrica (coordenação 6) é muito menor, tipicamente R_{\mathrm{Ti}^{4+}}\approx0{,}0605\\ \mathrm{nm} (0,605 Å) em tabelas de raios iônicos.
  • O raio iônico de \mathrm{O}^{2-} (coordenação 6) é tipicamente R_{\mathrm{O}^{2-}}\approx0{,}140\\ \mathrm{nm} (1,40 Å).
  • Portanto NÃO se pode usar diretamente o R_{\mathrm{Ti}}=0{,}145\\ \mathrm{nm} fornecido para estimar a em um óxido iônico — é preciso usar os raios iônicos apropriados ou o parâmetro de rede medido.

Passo 4

Método completo (passo a passo) para calcular a densidade de \mathrm{BaTiO}_3 quando se conhece ou se assume a estrutura perovskita cúbica e se têm os raios iônicos / massas atômicas:
  1. Calcular a massa molar:
M = A_{\mathrm{Ba}} + A_{\mathrm{Ti}} + 3A_{\mathrm{O}}\quad(\text{em }\mathrm{g/mol}).
  1. Determinar Z. Para perovskita cúbica Z=1.
  2. Estimar o parâmetro de rede a usando raios iônicos (se for apropriado):
a \approx 2\bigl(R_{\mathrm{Ti}^{4+}} + R_{\mathrm{O}^{2-}}\bigr).
Explicar: R_{\mathrm{Ti}^{4+}} é o raio do cátion B (coordenação 6) e R_{\mathrm{O}^{2-}} é o raio do oxigênio (coordenação 6). a ficará em nm (ou m) conforme unidades dos raios.
  1. Calcular volume da cela em \mathrm{m^3}:
  • Converter a para metros ( 1\\ \mathrm{nm}=1\times10^{-9}\\ \mathrm{m}),
V_{\text{cel}} = a^3 \quad(\mathrm{m^3}).
  1. Usar a fórmula da densidade. Converter M para kg/mol se quiser \rho em \mathrm{kg/m^3}:
\rho = \frac{Z\,M_{\mathrm{(kg/mol)}}}{N_A\,V_{\text{cel}}}.
Se M estiver em \mathrm{g/mol} e V_{\text{cel}} em \mathrm{cm^3}, dá para calcular \rho em \mathrm{g/cm^3} com consistente conversão de unidades; eu prefiro trabalhar em SI (kg, m).

Passo 5

Exemplo prático (uso de valores tabulados comuns): para mostrar como aplicar o método, vou usar valores tabulados conhecidos (isto é apenas um exemplo de cálculo — esses valores não foram fornecidos por você, estou usando valores convencionais de referência):
  • Massas atômicas usadas (valores tabulados):
    • A_{\mathrm{Ba}} = 137{,}327\\ \mathrm{g/mol} (valor tabulado).
    • A_{\mathrm{Ti}} = 47{,}87\\ \mathrm{g/mol} (você forneceu 47,87, ok).
    • A_{\mathrm{O}} = 16{,}00\\ \mathrm{g/mol}.
  • Raios iônicos (valores tabulados típicos para coordenação 6):
    • R_{\mathrm{Ti}^{4+}} = 0{,}0605\\ \mathrm{nm} (0,605 Å).
    • R_{\mathrm{O}^{2-}} = 0{,}140\\ \mathrm{nm} (1,40 Å).
Cálculos passo a passo:
  1. Massa molar:
M = 137{,}327 + 47{,}87 + 3\times16{,}00 = 137{,}327 + 47{,}87 + 48 = 233{,}197\\ \mathrm{g/mol}.
  1. Parâmetro de rede estimado:
a \approx 2\bigl(0{,}0605 + 0{,}140\bigr)\\ \mathrm{nm} = 2(0{,}2005)\\ \mathrm{nm} = 0{,}4010\\ \mathrm{nm}.
Converter para metros:
a = 0{,}4010\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 4{,}010\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  1. Volume da cela:
V_{\text{cel}} = a^3 = (4{,}010\times10^{-10})^3\\ \mathrm{m^3} = 6{,}448\times10^{-29}\\ \mathrm{m^3}.
  1. Converter massa molar para kg/mol:
M = 233{,}197\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}233197\\ \mathrm{kg/mol}.
  1. Densidade usando Z=1 e N_A=6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}:
\rho = \frac{1\times 0{,}233197}{6{,}02214076\times10^{23}\times 6{,}448\times10^{-29}}\\ \mathrm{kg/m^3}.
Calcule o denominador:
N_A\,V_{\text{cel}} \approx 6{,}022\times10^{23}\times 6{,}448\times10^{-29} \approx 3{,}885\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/mol}.
Portanto
\rho \approx \frac{0{,}233197}{3{,}885\times10^{-5}}\\ \mathrm{kg/m^3} \approx 6{,}00\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^3}.
Convertendo para \mathrm{g/cm^3}:
\rho \approx 6{,}00\\ \mathrm{g/cm^3}.
Comentário: esse valor coincide bem com densidades tabuladas de \mathrm{BaTiO}_3 (em torno de 6{,}0\\ \mathrm{g/cm^3}) — isto mostra que o método e os valores tabulados de raios iônicos são razoáveis.

Passo 6

Conclusões e orientações para a prova (resumo prático e incentivo):
  • Se na prova te der somente o composto ( \mathrm{BaTiO}_3) e pedir a densidade, cheque se o enunciado fornece:
    • o parâmetro de rede a, ou
    • os raios iônicos apropriados ( R_{\mathrm{Ba^{2+}}}, R_{\mathrm{Ti^{4+}}}, R_{\mathrm{O^{2-}}}) ou
    • as massas atômicas de todos os elementos.
  • Use sempre a fórmula \rho = \dfrac{Z M}{N_A a^3}. Explique e mostre cada conversão de unidades na prova (g → kg, nm → m, etc.).
  • Não use raios atômicos/metálicos para composto iônico; use raios iônicos (ou o parâmetro de rede experimental).
Força aí — com esse passo a passo você consegue aplicar a técnica na prova e não se perder nas conversões.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a massa específica de \mathrm{BaTiO}_3 apenas com os dados fornecidos, porque faltam a massa atômica de \mathrm{Ba}, a massa atômica de \mathrm{O} e os raios iônicos ( R_{\mathrm{Ti}^{4+}} e R_{\mathrm{O}^{2-}}) ou o parâmetro de rede. (Exemplo: usando valores tabulados A_{\mathrm{Ba}}=137{,}327\\ \mathrm{g/mol}, A_{\mathrm{O}}=16{,}00\\ \mathrm{g/mol}, R_{\mathrm{Ti}^{4+}}=0{,}0605\\ \mathrm{nm}, R_{\mathrm{O}^{2-}}=0{,}140\\ \mathrm{nm} e Z=1, obtém-se aproximadamente \rho\approx6{,}00\\ \mathrm{g/cm^3}.)

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