Considere a estrutura do FeO. Sabendo que esta é uma cerâmica do tipo AX e que seu número de coordenação é 6, determine:
a) o parâmetro de rede em nm .
b) o fator de empacotamento.
c) a densidade volumétrica.
d) a DIL para a direção [110]
e) a DIP para o plano (110)
Dados:
átomos
a) o parâmetro de rede em nm .
b) o fator de empacotamento.
c) a densidade volumétrica.
d) a DIL para a direção [110]
e) a DIP para o plano (110)
Passo 1
O enunciado pede cinco coisas para a estrutura do FeO (tipo AX, coordenação 6). Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
Dados fornecidos:
O que o enunciado pede:
a) o parâmetro de rede (em nm);
b) o fator de empacotamento (fração de volume ocupado por esferas iônicas);
c) a densidade volumétrica (densidade da cerâmica);
d) a densidade linear (DIL) para a direção (átomos por unidade de comprimento);
e) a densidade superficial planar (DIP) para o plano (átomos por unidade de área).
a) o parâmetro de rede (em nm);
b) o fator de empacotamento (fração de volume ocupado por esferas iônicas);
c) a densidade volumétrica (densidade da cerâmica);
d) a densidade linear (DIL) para a direção
e) a densidade superficial planar (DIP) para o plano
Passo 2
Identificar a geometria associada à informação “AX, coordenação 6” e quantidades úteis que vamos usar (apenas identificação de contagem/relacionamentos geométricos, sem resolver ainda).
- Uma rede AX com coordenação 6 é a estrutura do tipo halita (NaCl): cada íon tem 6 vizinhos de carga oposta.
- Na estrutura de halita o número de fórmulas por célula unitária convencional é
(ou seja, 4 unidades FeO por célula). Vou usar essa informação para massa por célula e para contar átomos nas contas seguintes. - Em halita os íons A e X têm contato direto ao longo do segmento que liga centros de íons vizinhos mais próximos; geometricamente a relação entre o parâmetro de rede
e os raios iônicos é
Essa relação é padrão para estrutura tipo NaCl (os vizinhos mais próximos estão a uma distância
). Na próxima etapa aplico essa fórmula com os valores dados.
Passo 3
Calcular o parâmetro de rede
usando a relação entre
e os raios iônicos.
- Substituindo os raios na fórmula
:
- Soma dos raios:
. - Logo
Passo 4
Explicar e montar a expressão do fator de empacotamento (packing factor, PF).
- O fator de empacotamento é a razão entre o volume ocupado pelas “esferas” (íons) dentro da célula unitária e o volume total da célula:
- Em cada célula há
fórmulas FeO, ou seja, íons e íons . O volume de uma esfera de raio é . - Portanto o volume total de esferas na célula é
- O volume da célula é
. - Assim
Passo 5
Calcular numericamente o fator de empacotamento passo a passo.
- Primeiro os cubos dos raios:
- Soma:
- Volume de uma fórmula (somando os dois íons) multiplicado por
:
- Como há 4 fórmulas por célula:
- Volume da célula:
- Portanto o fator de empacotamento é
- Interpretação rápida: cerca de
do volume da célula está ocupado pelas esferas iônicas (o restante é vazio entre íons).
Passo 6
Montar a expressão para a densidade volumétrica (densidade
) e explicar cada termo.
- A densidade é massa por volume:
- Massa na célula: há
unidades FeO por célula, cada unidade tem massa molar (em g/mol). Convertendo para gramas por célula usando :
- Volume da célula deve estar em
para obter em . Como , temos . Assim
- Logo
Passo 7
Calcular numericamente a densidade usando os valores dados.
- Massa por célula:
- Volume da célula em
:
- Densidade:
Passo 8
Explicar o conceito de densidade linear (DIL) e como contar átomos na direção
.
- A densidade linear para uma direção
é o número de centros de átomos que caem sobre uma linha paralela a por unidade de comprimento dessa linha (conta-se apenas átomos cujos centros ficam exatamente sobre a linha). - Para a estrutura tipo halita é útil usar as coordenadas fracionárias das bases. Uma escolha comum das posições na célula convencional (frações de
) é: - íons
(aníons): ; - íons
(cátions): .
- íons
- Considere a linha que vai de
até — essa é uma representação do vetor na direção dentro da célula convencional; seu comprimento é . - Ao observar as posições acima, os centros que ficam exatamente sobre essa linha (entre
e ) são os localizados em e em . Esses dois pontos repetem periodicamente ao longo da direção, formando um motivo de 2 átomos por comprimento de repetição .
Passo 9
Calcular a DIL para
.
- Número de átomos por comprimento repetitivo:
(conforme argumento acima). Comprimento repetitivo: . - Logo a densidade linear é
- Substituindo
:
Passo 10
Explicar o que é a densidade superficial planar (DIP) e escolher a região elementar para o plano
.
- A densidade planar para o plano
é o número de centros de átomos que pertencem estritamente ao plano por unidade de área do plano. Procedimento: escolher uma célula plana (um paralelogramo) que defina a repetição no plano, contar os centros de átomos dentro dessa região (contando frações quando estiverem sobre arestas/vértices) e dividir pelo área dessa região. - Para o plano
na célula cúbica podemos usar um paralelogramo gerado pelos vetores: A área desse paralelogramo é - Agora contamos quais centros de íons (das posições fracionárias listadas antes) pertencem a esse paralelogramo representativo do plano
. Tomando o plano deslocado (por exemplo o plano dado por em coordenadas fracionárias, que é uma folha no interior da célula), as posições que obedecem e têm coordenadas no intervalo incluem e . Essas duas estão inteiramente dentro do paralelogramo escolhido (não estão em arestas), portanto contribuem integralmente. - Conclusão: há
centros de átomos por paralelogramo de área .
Passo 11
Calcular numericamente a DIP para o plano
.
- Fórmula:
- Usando
, primeiro . - Então
. - Portanto
Resposta
a)
b) (ou
)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)