Considere a estrutura do FeO. Sabendo que esta é uma cerâmica do tipo AX e que seu número de coordenação é 6, determine:
a) o parâmetro de rede em nm .
b) o fator de empacotamento.
c) a densidade volumétrica.
d) a DIL para a direção [110]
e) a DIP para o plano (110)
Dados:
\mathrm{Ro}^{-}=0,140 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Fe}}{ }^{+}=0,133 \mathrm{~nm}
\mathrm{A}_{\mathrm{o}}=16 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}
\mathrm{A}_{\mathrm{Fe}}=55,85 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}
\mathrm{N}_{\mathrm{A}}=6,023 \times 10^{23} átomos / \mathrm{mol}

Passo 1

O enunciado pede cinco coisas para a estrutura do FeO (tipo AX, coordenação 6). Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
Dados fornecidos:
  • R_{\mathrm{O}^{-}}=0,140\\ \mathrm{nm}
  • R_{\mathrm{Fe}^{+}}=0,133\\ \mathrm{nm}
  • A_{\mathrm{O}}=16\\ \mathrm{g/mol}
  • A_{\mathrm{Fe}}=55,85\\ \mathrm{g/mol}
  • N_{\mathrm{A}}=6,023\times10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1}
O que o enunciado pede:
a) o parâmetro de rede (em nm);
b) o fator de empacotamento (fração de volume ocupado por esferas iônicas);
c) a densidade volumétrica (densidade da cerâmica);
d) a densidade linear (DIL) para a direção [110] (átomos por unidade de comprimento);
e) a densidade superficial planar (DIP) para o plano (110) (átomos por unidade de área).

Passo 2

Identificar a geometria associada à informação “AX, coordenação 6” e quantidades úteis que vamos usar (apenas identificação de contagem/relacionamentos geométricos, sem resolver ainda).
  • Uma rede AX com coordenação 6 é a estrutura do tipo halita (NaCl): cada íon tem 6 vizinhos de carga oposta.
  • Na estrutura de halita o número de fórmulas por célula unitária convencional é Z=4 (ou seja, 4 unidades FeO por célula). Vou usar essa informação para massa por célula e para contar átomos nas contas seguintes.
  • Em halita os íons A e X têm contato direto ao longo do segmento que liga centros de íons vizinhos mais próximos; geometricamente a relação entre o parâmetro de rede a e os raios iônicos é
a = 2\,(R_{\mathrm{Fe}^{+}}+R_{\mathrm{O}^{-}}).
Essa relação é padrão para estrutura tipo NaCl (os vizinhos mais próximos estão a uma distância a/2). Na próxima etapa aplico essa fórmula com os valores dados.

Passo 3

Calcular o parâmetro de rede a usando a relação entre a e os raios iônicos.
  • Substituindo os raios na fórmula \;a=2\,(R_{\mathrm{Fe}}+R_{\mathrm{O}})\;:
a = 2\bigl(0,133+0,140\bigr)\\ \mathrm{nm}.
  • Soma dos raios: 0,133+0,140=0,273\\ \mathrm{nm}.
  • Logo
a = 2\times0,273 = 0,546\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Explicar e montar a expressão do fator de empacotamento (packing factor, PF).
  • O fator de empacotamento é a razão entre o volume ocupado pelas “esferas” (íons) dentro da célula unitária e o volume total da célula:
\text{PF}=\frac{\text{volume total das esferas na célula}}{\text{volume da célula}}.éé
  • Em cada célula há Z=4 fórmulas FeO, ou seja, 4 íons \mathrm{Fe}^{2+} e 4 íons \mathrm{O}^{2-}. O volume de uma esfera de raio r é \dfrac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Portanto o volume total de esferas na célula é
V_{\text{sph}} = 4\cdot\frac{4}{3}\pi\bigl(R_{\mathrm{Fe}}^{3}+R_{\mathrm{O}}^{3}\bigr).
  • O volume da célula é V_{\text{cell}}=a^{3}.
  • Assim
\text{PF}=\frac{4\cdot\frac{4}{3}\pi\bigl(R_{\mathrm{Fe}}^{3}+R_{\mathrm{O}}^{3}\bigr)}{a^{3}}.

Passo 5

Calcular numericamente o fator de empacotamento passo a passo.
  • Primeiro os cubos dos raios:
R_{\mathrm{O}}^{3} = (0,140)^{3}=0,002744\\ \mathrm{nm^{3}},
R_{\mathrm{Fe}}^{3} = (0,133)^{3}\approx0,0023526\\ \mathrm{nm^{3}}.
  • Soma:
R_{\mathrm{Fe}}^{3}+R_{\mathrm{O}}^{3}\approx0,0050966\\ \mathrm{nm^{3}}.
  • Volume de uma fórmula (somando os dois íons) multiplicado por 4/3\pi:
\frac{4}{3}\pi\bigl(R_{\mathrm{Fe}}^{3}+R_{\mathrm{O}}^{3}\bigr)\approx4,18879\times0,0050966\approx0,02135\\ \mathrm{nm^{3}}.
  • Como há 4 fórmulas por célula:
V_{\text{sph}}=4\times0,02135\approx0,08540\\ \mathrm{nm^{3}}.
  • Volume da célula:
V_{\text{cell}}=a^{3}=(0,546)^{3}\approx0,16277\\ \mathrm{nm^{3}}.
  • Portanto o fator de empacotamento é
\text{PF}=\frac{0,08540}{0,16277}\approx0,525.
  • Interpretação rápida: cerca de 52,5\% do volume da célula está ocupado pelas esferas iônicas (o restante é vazio entre íons).

Passo 6

Montar a expressão para a densidade volumétrica (densidade \rho) e explicar cada termo.
  • A densidade é massa por volume:
\rho=\frac{\text{massa na célula}}{\text{volume da célula}}.éé
  • Massa na célula: há Z=4 unidades FeO por célula, cada unidade tem massa molar A_{\mathrm{Fe}}+A_{\mathrm{O}} (em g/mol). Convertendo para gramas por célula usando N_{\mathrm{A}}:
m_{\text{cell}}=\frac{Z\,(A_{\mathrm{Fe}}+A_{\mathrm{O}})}{N_{\mathrm{A}}}.
  • Volume da célula deve estar em \mathrm{cm^{3}} para obter \rho em \mathrm{g/cm^{3}}. Como 1\\ \mathrm{nm}=10^{-7}\\ \mathrm{cm}, temos 1\\ \mathrm{nm^{3}}=10^{-21}\\ \mathrm{cm^{3}}. Assim
V_{\text{cell}}\\ (\mathrm{cm^{3}})=a^{3}\\ (\mathrm{nm^{3}})\times10^{-21}.
  • Logo
\rho=\frac{\dfrac{Z\,(A_{\mathrm{Fe}}+A_{\mathrm{O}})}{N_{\mathrm{A}}}}{a^{3}\times10^{-21}}.

Passo 7

Calcular numericamente a densidade usando os valores dados.
  • Massa por célula:
m_{\text{cell}}=\frac{4\bigl(55{,}85+16\bigr)}{6{,}023\times10^{23}}\\ \mathrm{g} =\frac{287{,}4}{6{,}023\times10^{23}}\\ \mathrm{g} \approx4{,}7708\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.
  • Volume da célula em \mathrm{cm^{3}}:
V_{\text{cell}}=0,162771\\ \mathrm{nm^{3}}\times10^{-21}=1{,}62771\times10^{-22}\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • Densidade:
\rho=\frac{4{,}7708\times10^{-22}}{1{,}62771\times10^{-22}}\\ \mathrm{g/cm^{3}}\approx2{,}93\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 8

Explicar o conceito de densidade linear (DIL) e como contar átomos na direção [110].
  • A densidade linear para uma direção [uvw] é o número de centros de átomos que caem sobre uma linha paralela a [uvw] por unidade de comprimento dessa linha (conta-se apenas átomos cujos centros ficam exatamente sobre a linha).
  • Para a estrutura tipo halita é útil usar as coordenadas fracionárias das bases. Uma escolha comum das posições na célula convencional (frações de a) é:
    • íons \mathrm{O}^{2-} (aníons): (0,0,0),\\ (0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}),\\ (\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}),\\ (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0);
    • íons \mathrm{Fe}^{2+} (cátions): (\tfrac{1}{2},0,0),\\ (0,\tfrac{1}{2},0),\\ (0,0,\tfrac{1}{2}),\\ (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}).
  • Considere a linha que vai de (0,0,0) até (1,1,0) — essa é uma representação do vetor na direção [110] dentro da célula convencional; seu comprimento é a\sqrt{2}.
  • Ao observar as posições acima, os centros que ficam exatamente sobre essa linha (entre (0,0,0) e (1,1,0)) são os localizados em (0,0,0) e em (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0). Esses dois pontos repetem periodicamente ao longo da direção, formando um motivo de 2 átomos por comprimento de repetição a\sqrt{2}.

Passo 9

Calcular a DIL para [110].
  • Número de átomos por comprimento repetitivo: n=2 (conforme argumento acima). Comprimento repetitivo: L=a\sqrt{2}.
  • Logo a densidade linear é
\text{DIL}_{[110]}=\frac{2}{a\sqrt{2}}.
  • Substituindo a=0,546\\ \mathrm{nm}:
a\sqrt{2}=0,546\times1{,}41421356\approx0,7728\\ \mathrm{nm},
\text{DIL}_{[110]}\approx\frac{2}{0,7728}\approx2{,}59\\ \text{átomos/nm}.á

Passo 10

Explicar o que é a densidade superficial planar (DIP) e escolher a região elementar para o plano (110).
  • A densidade planar para o plano (hkl) é o número de centros de átomos que pertencem estritamente ao plano por unidade de área do plano. Procedimento: escolher uma célula plana (um paralelogramo) que defina a repetição no plano, contar os centros de átomos dentro dessa região (contando frações quando estiverem sobre arestas/vértices) e dividir pelo área dessa região.
  • Para o plano (110) na célula cúbica podemos usar um paralelogramo gerado pelos vetores: \mathbf{v}_1 = a(1,1,0),\qquad \mathbf{v}_2 = a(0,0,1).A área desse paralelogramo é A = |\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2| = a^{2}\sqrt{2}.
  • Agora contamos quais centros de íons (das posições fracionárias listadas antes) pertencem a esse paralelogramo representativo do plano (110). Tomando o plano deslocado (por exemplo o plano dado por x+y=1 em coordenadas fracionárias, que é uma folha (110) no interior da célula), as posições que obedecem x+y=1 e têm coordenadas no intervalo [0,1) incluem (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0) e (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}). Essas duas estão inteiramente dentro do paralelogramo escolhido (não estão em arestas), portanto contribuem integralmente.
  • Conclusão: há 2 centros de átomos por paralelogramo de área a^{2}\sqrt{2}.

Passo 11

Calcular numericamente a DIP para o plano (110).
  • Fórmula:
\text{DIP}_{(110)}=\frac{2}{a^{2}\sqrt{2}}.
  • Usando a=0,546\\ \mathrm{nm}, primeiro a^{2}=(0,546)^{2}=0,298116\\ \mathrm{nm^{2}}.
  • Então a^{2}\sqrt{2}=0,298116\times1{,}41421356\approx0,42179\\ \mathrm{nm^{2}}.
  • Portanto
\text{DIP}_{(110)}\approx\frac{2}{0,42179}\approx4{,}74\\ \text{átomos/nm}^{2}.á

Resposta

a) a=0,546\\ \mathrm{nm}
b) \text{PF}\approx0,525 (ou 52{,}5\%)
c) \rho\approx2{,}93\\ \mathrm{g/cm^{3}}
d) \text{DIL}_{[110]}\approx2{,}59\\ \text{átomos/nm}á
e) \text{DIP}_{(110)}\approx4{,}74\\ \text{átomos/nm}^{2}á

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