Determine o parâmetro de rede e o fator de empacotamento das seguintes estruturas:
Metal CS
Dados:
Metal CS
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a estrutura indicada como “Metal CS”: o parâmetro de rede (comprimento da aresta da cela unitária) e o fator de empacotamento (fração do volume da cela ocupada pelos átomos). Dos dados fornecidos, o raio que corresponde ao metal é
. Não há outras informações grafas/figuras; portanto vou usar
como o raio atômico do metal da estrutura CS.
Passo 2
Entender o que é “CS” aqui: “CS” denota a rede cúbica simples (cúbico simples). Propriedades básicas que preciso usar:
- Na cúbica simples, os átomos ficam nos oito vértices do cubo e cada vértice pertence a 8 células unitárias vizinhas, logo a contribuição efetiva por cela é
átomo por cela. - Os átomos se tocam ao longo da aresta do cubo. Isso significa que o diâmetro atômico vale exatamente a aresta
da cela. Em símbolos: se é o raio do átomo, então a aresta satisfaz .
Vou explicar esse último ponto: cada vértice tem um átomo com raio; dois vértices adjacentes estão separados pela aresta ; quando esses dois átomos vizinhos se tocam, a distância centro a centro é , logo .
Passo 3
Aplicando a relação entre aresta e raio ao nosso caso (peguei o valor de
dos dados):
Calculemos:
Passo 4
Agora o fator de empacotamento (APF, ou fração de volume ocupado) é definido por:
Na cúbica simples:
- número de átomos por cela:
. - volume de uma esfera (átomo) de raio
: . - volume da cela:
.
Portanto:
Passo 5
Substituo a relação
dentro da expressão para simplificar algebraicamente:
Logo o fator de empacotamento da cúbica simples é exatamente
.
Passo 6
Calculemos o valor numérico aproximado (pegando
):
ou em percentagem:
Resposta
Parâmetro de rede:
Fator de empacotamento: (ou
)
Fator de empacotamento: