Determine o parâmetro de rede e o fator de empacotamento das seguintes estruturas:
Metal CS
Dados:
\mathrm{R}_{\mathrm{Na}^{+}}=0,102 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Ba}^{+}}=0,136 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Cl}}=0,181 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{cs}^{+}}=0,170 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{T}^{+}}=0,068 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{o}}=0,140 \mathrm{~nm}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a estrutura indicada como “Metal CS”: o parâmetro de rede (comprimento da aresta da cela unitária) e o fator de empacotamento (fração do volume da cela ocupada pelos átomos). Dos dados fornecidos, o raio que corresponde ao metal é \mathrm{R}_{\mathrm{o}}=0,140\\ \mathrm{nm}. Não há outras informações grafas/figuras; portanto vou usar \mathrm{R}_{\mathrm{o}} como o raio atômico do metal da estrutura CS.

Passo 2

Entender o que é “CS” aqui: “CS” denota a rede cúbica simples (cúbico simples). Propriedades básicas que preciso usar:
  • Na cúbica simples, os átomos ficam nos oito vértices do cubo e cada vértice pertence a 8 células unitárias vizinhas, logo a contribuição efetiva por cela é 1 átomo por cela.
  • Os átomos se tocam ao longo da aresta do cubo. Isso significa que o diâmetro atômico vale exatamente a aresta a da cela. Em símbolos: se R é o raio do átomo, então a aresta satisfaz \,a=2R\,.
    Vou explicar esse último ponto: cada vértice tem um átomo com raio R; dois vértices adjacentes estão separados pela aresta a; quando esses dois átomos vizinhos se tocam, a distância centro a centro é 2R, logo a=2R.

Passo 3

Aplicando a relação entre aresta e raio ao nosso caso (peguei o valor de \mathrm{R}_{\mathrm{o}} dos dados):
a = 2R = 2\cdot \mathrm{R}_{\mathrm{o}} = 2\cdot 0,140\\ \mathrm{nm}.
Calculemos:
a = 0,280\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Agora o fator de empacotamento (APF, ou fração de volume ocupado) é definido por:
\text{APF}=\frac{\text{volume total dos átomos dentro da cela}}{\text{volume da cela}}.á
Na cúbica simples:
  • número de átomos por cela: N=1.
  • volume de uma esfera (átomo) de raio R: \dfrac{4}{3}\pi R^{3}.
  • volume da cela: a^{3}.
    Portanto:
\text{APF}=\frac{N\cdot \dfrac{4}{3}\pi R^{3}}{a^{3}} =\frac{1\cdot \dfrac{4}{3}\pi R^{3}}{a^{3}}.

Passo 5

Substituo a relação a=2R dentro da expressão para simplificar algebraicamente:
\text{APF}=\frac{\dfrac{4}{3}\pi R^{3}}{(2R)^{3}} =\frac{\dfrac{4}{3}\pi R^{3}}{8R^{3}} =\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{1}{8} =\frac{\pi}{6}.
Logo o fator de empacotamento da cúbica simples é exatamente \dfrac{\pi}{6}.

Passo 6

Calculemos o valor numérico aproximado (pegando \pi\approx 3,14159265):
\text{APF}=\frac{\pi}{6}\approx 0,5236\quad(\text{fração}),çã
ou em percentagem:
\text{APF}\approx 52,36\%.

Resposta

Parâmetro de rede: a=0,280\\ \mathrm{nm}
Fator de empacotamento: \dfrac{\pi}{6}\approx 0,5236 (ou 52,36\%)

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