Calcule a massa da região R limitada por:
x^{2}+y^{2}=1+z^{2}, x^{2}+y^{2}=2+2 z^{2}, para |z| \leq a com \delta(x, y, z)=z^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a massa da região R limitada pelas duas superfícies \;x^{2}+y^{2}=1+z^{2} e \;x^{2}+y^{2}=2+2z^{2},
com \lvert z\rvert\le a e densidade \delta(x,y,z)=z^{2}.
Para resolver vamos usar coordenadas cilíndricas, em que
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,
o elemento de volume \mathrm{d}V=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z e integrar \delta\,\mathrm{d}V sobre R.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a condição x^{2}+y^{2}=r^{2} transforma as duas superfícies em
r^{2}=1+z^{2} \quad\text{e}\quad r^{2}=2+2z^{2}.
Para cada z fixo com \lvert z\rvert\le a, r varia entre
r_{1}=\sqrt{1+z^{2}} \quad\text{e}\quad r_{2}=\sqrt{2+2z^{2}}.
O ângulo \theta varia de 0 a 2\pi. A densidade é \delta=z^{2}.

Passo 3

Escrevendo a integral de massa:
M \;=\;\iiint_{R} \delta(x,y,z)\,\mathrm{d}V \;=\;\int_{z=-a}^{a}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r_{1}}^{r_{2}} z^{2}\,\bigl(r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z\bigr).

Passo 4

Primeiro integramos em r e \theta:
\int_{r_{1}}^{r_{2}}r\,\mathrm{d}r =\frac{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{2} =\frac{\bigl(2+2z^{2}\bigr)-\bigl(1+z^{2}\bigr)}{2} =\frac{1+z^{2}}{2},
\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta=2\pi.
Logo
M =\int_{-a}^{a}z^{2}\,\biggl(\,2\pi\cdot\frac{1+z^{2}}{2}\biggr)\mathrm{d}z =\pi\int_{-a}^{a}z^{2}\,(1+z^{2})\,\mathrm{d}z.

Passo 5

Como z^{2}(1+z^{2})=z^{2}+z^{4} é função par,
M =\pi\cdot2\int_{0}^{a}(z^{2}+z^{4})\,\mathrm{d}z =2\pi\Bigl[\frac{z^{3}}{3}+\frac{z^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{a} =2\pi\Bigl(\frac{a^{3}}{3}+\frac{a^{5}}{5}\Bigr).

Resposta

M = 2\pi\Bigl(\frac{a^{3}}{3} + \frac{a^{5}}{5}\Bigr).

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