Calcule a massa da região R limitada por:
x^{2}+y^{2}=1+z^{2}, x^{2}+y^{2}=4 com \delta(x, y, z)=|z|;

Passo 1

O enunciado pede a massa da região R limitada pelas superfícies \;x^{2}+y^{2}=1+z^{2} e \;x^{2}+y^{2}=4,
com densidade \delta(x,y,z)=|z|.
O conteúdo principal é configurar e calcular uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (\rho,\theta,z) temos \;x^{2}+y^{2}=\rho^{2},
logo as superfícies viram \rho^{2}=1+z^{2} e \rho^{2}=4.
Para \sqrt{1+z^{2}}\le2 é necessário z^{2}\le3, isto é
z\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}],\quad \rho\in\bigl[\sqrt{1+z^{2}},\,2\bigr],\quad \theta\in[0,2\pi].

Passo 3

A massa é
M \;=\;\iiint_{R}|z|\,dV \;=\;\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \int_{\rho=\sqrt{1+z^{2}}}^{2} |z|\;\rho\;d\rho\,dz\,d\theta.

Passo 4

Calcular a integral em \rho:
\int_{\rho=\sqrt{1+z^{2}}}^{2}\rho\,d\rho =\frac{1}{2}\Bigl(2^{2}-(1+z^{2})\Bigr) =\frac{1}{2}\bigl(3 - z^{2}\bigr).

Passo 5

Fatorando constantes e integrando em \theta:
M =\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\int_{0}^{2\pi} |z|\;\frac{1}{2}(3 - z^{2})\,d\theta\,dz = \pi\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} |z|\,(3 - z^{2})\,dz.

Passo 6

Usar a simetria em z:
\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} |z|\,(3 - z^{2})\,dz =2\int_{0}^{\sqrt{3}} z\,(3 - z^{2})\,dz =2\Bigl[\tfrac{3}{2}z^{2}-\tfrac{1}{4}z^{4}\Bigr]_{0}^{\sqrt{3}} =2\cdot\frac{9}{4} =\frac{9}{2}.

Passo 7

Concluindo,
M = \pi\;\cdot\;\frac{9}{2} =\frac{9\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{9\pi}{2}

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