Calcule:
Calcule o volume da região acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região que fica acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e ao mesmo tempo dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}. Esse tipo de problema é naturalmente resolvido em coordenadas esféricas, pois a esfera e o cone têm descrições simples nesses parâmetros.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \rho, \varphi e \theta, definidas por
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
e o elemento de volume é
\mathrm{d}V = \rho^{2}\sin\varphi\;\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.
O cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} equivale a \rho\cos\varphi = \rho\sin\varphi, ou seja \varphi=\pi/4. A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} vira \rho=a.

Passo 3

A região desejada em \rho,\varphi,\theta é
0\le \rho\le a,\quad 0\le \varphi\le \frac{\pi}{4},\quad 0\le \theta\le 2\pi.
Logo o volume é dado por
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{a} \rho^{2}\sin\varphi \;\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em \rho:
\int_{0}^{a}\rho^{2}\,\mathrm{d}\rho = \frac{a^{3}}{3}.
Depois em \varphi:
\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi = 1 - \cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}.
Por fim em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta = 2\pi.
Multiplicando tudo,
V = 2\pi\;\frac{a^{3}}{3}\;\Bigl(1 - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = \frac{\pi a^{3}}{3}\,(2-\sqrt{2}).

Resposta

V = \frac{\pi a^{3}}{3}\,(2-\sqrt{2}).

Exercícios relacionados