Calcule a massa do sólido
, onde a densidade é
.
Passo 1
O enunciado pede a massa do sólido
com densidade
.
O conteúdo principal é usar uma mudança linear de variáveis para simplificar a região e a densidade.
O conteúdo principal é usar uma mudança linear de variáveis para simplificar a região e a densidade.
Passo 2
Definimos as variáveis
Nesse sistema a região fica
isto é, um “quarto” de bola de raio
no espaço
, e a densidade torna-se
.
Passo 3
Expressamos
em função de
e calculamos o Jacobiano:
A matriz da transformação tem determinante
, logo
Passo 4
A massa vale
Para cada
fixos,
varia de
a
, dando
Assim
Passo 5
Passamos para coordenadas polares no plano
:
Então
e o elemento de área é
. Logo
Calculamos
Passo 6
Para o radial usamos
:
Assim a massa fica
Resposta
A massa do sólido é
.