Calcule a massa da região R limitada por:
x^{2}+y^{2}=1+z^{2}, x^{2}+y^{2}=z^{2}, para |z| \leq a com \delta(x, y, z)=|z|;

Passo 1

O enunciado pede a massa da região R descrita em coordenadas cartesianas por
x^{2}+y^{2}=1+z^{2},\quad x^{2}+y^{2}=z^{2},\quad |z|\le a
com densidade \delta(x,y,z)=|z|.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas cilíndricas e montar a integral tripla de massa
M=\iiint_{R}\delta(x,y,z)\,dV.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,
o elemento de volume é dV = r\,dr\,d\theta\,dz, e as superfícies ficam
r=|z|\quad(\text{cone}),\qquad r=\sqrt{1+z^{2}}\quad(\text{hiperbolóide}).ó
Assim, para cada z\in[-a,a], r varia de r_{\text{i}}=|z| até r_{\text{o}}=\sqrt{1+z^{2}} e \theta de 0 a 2\pi.

Passo 3

A massa fica
M=\int_{z=-a}^{a}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=|z|}^{\sqrt{1+z^{2}}} |z|\;r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 4

Primeiro integramos em \theta e r:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi, \quad \int_{r=|z|}^{\sqrt{1+z^{2}}}r\,dr =\tfrac{1}{2}\bigl((1+z^{2})-z^{2}\bigr) =\tfrac{1}{2}.
Logo
M = \int_{-a}^{a} |z|\;\Bigl(2\pi\cdot\tfrac{1}{2}\Bigr)dz = \pi\int_{-a}^{a}|z|\,dz.

Passo 5

Como |z| é função par,
\int_{-a}^{a}|z|\,dz =2\int_{0}^{a}z\,dz =2\cdot\tfrac{a^{2}}{2} =a^{2}.
Portanto
M=\pi\,a^{2}.

Resposta

\boxed{M=\pi\,a^{2}.}

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