Calcule
Calcule
, onde
é o sólido limitado por
e
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o sólido limitado pela esfera
e pelos cones
Este é um típico problema de mudança para coordenadas esféricas, pois a esfera e os cones têm equações simples nessas coordenadas.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
com jacobiano
.
- A esfera
vira
, ou seja
- O cone
dá , logo - O cone
dá , logo Assim, , e .
Passo 3
A integranda é
. Como
, o integral fica
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Logo o integral passa a ser
Passo 5
Para calcular
,
fazemos a substituição ,
.
Quando temos
,
e quando temos
.
Então
fazemos a substituição
Quando
e quando
Então
Passo 6
Substituindo de volta no integral total: