Calcule a massa da região R limitada por:
z^{2}=x^{2}+y^{2}, x^{2}+y^{2}-2 y=0, para x \geq 0 com \delta(x, y, z)=1

Passo 1

O enunciado pede a massa da região R definida por
z^{2}=x^{2}+y^{2},\quad x^{2}+y^{2}-2y=0,\quad x\ge0
com densidade \delta(x,y,z)=1. Como \delta=1, a massa é igual ao volume de R. Vamos usar coordenadas cilíndricas \bigl(r,\theta,z\bigr), em que x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dV=r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Em cilíndricas, a superfície cônica z^{2}=x^{2}+y^{2} vira
z^{2}=r^{2}\quad\Longrightarrow\quad z=\pm r,
e o cilindro x^{2}+y^{2}-2y=0 vira
r^{2}-2r\sin\theta=0\quad\Longrightarrow\quad r=2\sin\theta.
Além disso, a condição x\ge0 implica \cos\theta\ge0, ou seja \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].

Passo 3

Como r\ge0, da curva r=2\sin\theta vem \sin\theta\ge0, isto é \theta\in[0,\pi]. Fazendo a interseção com \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}], obtemos
\theta\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr].

Passo 4

Portanto, a descrição de R em cilíndricas é
0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2},\quad 0\le r\le 2\sin\theta,\quad -r\le z\le r.
A massa é
M=\iiint_{R}1\,dV =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2\sin\theta}\int_{z=-r}^{r}r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integramos primeiro em z:
\int_{z=-r}^{r}r\,dz = r\bigl[z\bigr]_{-r}^{r} = r\,(r -(-r))=2r^{2}.
Logo
M =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2\sin\theta}2r^{2}\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\Bigl[2\cdot\frac{r^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{2\sin\theta}d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\frac{16}{3}\sin^{3}\theta\,d\theta.

Passo 6

Calculamos
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,(1-\cos^{2}\theta)\,d\theta =\Bigl[-\cos\theta+\tfrac{\cos^{3}\theta}{3}\Bigr]_{0}^{\pi/2} =0-\bigl(-1+\tfrac{1}{3}\bigr) =\tfrac{2}{3}.
Então
M =\frac{16}{3}\cdot\frac{2}{3} =\frac{32}{9}.

Resposta

A massa da região R é \displaystyle \frac{32}{9}.

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