Calcule
Calcule \iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d x d y d z, onde V é o sólido limitado por x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z, \quad z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e z=\sqrt{3\left(x^{2}+y^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\;dx\,dy\,dz,
onde V é o sólido limitado pela esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=2z,
e pelos cones
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \quad\text{e}\quad z=\sqrt{3\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}.
Este é um típico problema de mudança para coordenadas esféricas, pois a esfera e os cones têm equações simples nessas coordenadas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi,
com jacobiano \rho^{2}\sin\varphi.
  • A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2z vira
    \rho^{2}=2\rho\cos\varphi, ou seja
\rho = 2\cos\varphi.
  • O cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \rho\cos\varphi=\rho\sin\varphi, logo \varphi=\tfrac{\pi}{4}.
  • O cone z=\sqrt{3(x^{2}+y^{2})} \cos\varphi=\sqrt{3}\sin\varphi, logo \varphi=\tfrac{\pi}{6}. Assim, 0\le\theta\le2\pi, \tfrac{\pi}{6}\le\varphi\le\tfrac{\pi}{4} e 0\le\rho\le2\cos\varphi.

Passo 3

A integranda é \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\rho. Como dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta, o integral fica
\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\varphi=\pi/6}^{\pi/4} \int_{\rho=0}^{2\cos\varphi} \rho\;\bigl(\rho^{2}\sin\varphi\bigr)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{\pi/6}^{\pi/4}\!\!\int_{0}^{2\cos\varphi} \rho^{3}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em \rho:
\int_{0}^{2\cos\varphi}\rho^{3}\,d\rho =\left[\frac{\rho^{4}}{4}\right]_{0}^{2\cos\varphi} =\frac{(2\cos\varphi)^{4}}{4} =\frac{16\cos^{4}\varphi}{4} =4\cos^{4}\varphi.
Logo o integral passa a ser
\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{\pi/6}^{\pi/4}4\cos^{4}\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi =2\pi\cdot4\int_{\pi/6}^{\pi/4}\cos^{4}\varphi\sin\varphi\,d\varphi =8\pi\int_{\pi/6}^{\pi/4}\cos^{4}\varphi\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 5

Para calcular \displaystyle \int_{\pi/6}^{\pi/4}\cos^{4}\varphi\sin\varphi\,d\varphi,
fazemos a substituição u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi.
Quando \varphi=\pi/6 temos u=\cos(\pi/6)=\tfrac{\sqrt3}{2},
e quando \varphi=\pi/4 temos u=\cos(\pi/4)=\tfrac{\sqrt2}{2}.
Então
\int_{\pi/6}^{\pi/4}\cos^{4}\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\int_{u=\sqrt3/2}^{\sqrt2/2}u^{4}(-du) =\int_{\sqrt2/2}^{\sqrt3/2}u^{4}\,du =\left[\frac{u^{5}}{5}\right]_{\sqrt2/2}^{\sqrt3/2} =\frac{(9\sqrt3)-(4\sqrt2)}{160}.

Passo 6

Substituindo de volta no integral total:
8\pi\cdot\frac{9\sqrt3-4\sqrt2}{160} =\frac{8\pi}{160}\bigl(9\sqrt3-4\sqrt2\bigr) =\frac{\pi}{20}\bigl(9\sqrt3-4\sqrt2\bigr).

Resposta

\boxed{\frac{\pi}{20}\,\bigl(9\sqrt3-4\sqrt2\bigr)}.

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