Calcule a massa do sólido
R=\left\{(x, y, z) \mid(x+y+z)^{2}+(x+y-z)^{2}+(x-y-z)^{2} \leq 25, \quad x+y+z \geq 0, x+y-z \geq 0\right\}, onde a densidade é \delta(x, y, z)=(x+y+z)(x+y-z).

Passo 1

O enunciado pede a massa do sólido
R=\{(x,y,z)\mid (x+y+z)^2+(x+y-z)^2+(x-y-z)^2\le 25,\;x+y+z\ge0,\;x+y-z\ge0\}
com densidade \delta(x,y,z)=(x+y+z)(x+y-z).
O conteúdo principal é usar uma mudança linear de variáveis para simplificar a região e a densidade.

Passo 2

Definimos as variáveis
u = x+y+z,\quad v = x+y-z,\quad w = x-y-z.
Nesse sistema a região fica
u^2+v^2+w^2\le25,\quad u\ge0,\;v\ge0,
isto é, um “quarto” de bola de raio 5 no espaço (u,v,w), e a densidade torna-se \delta = uv.

Passo 3

Expressamos (x,y,z) em função de (u,v,w) e calculamos o Jacobiano:
x=\frac{u+w}2,\quad y=\frac{v-w}2,\quad z=\frac{u-v}2.
A matriz da transformação tem determinante -\tfrac14, logo
dV = \Bigl|\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\Bigr|\,du\,dv\,dw = \frac14\,du\,dv\,dw.

Passo 4

A massa vale
\iiint_R\delta\,dV = \frac14 \iiint_{u^2+v^2+w^2\le25,\;u,v\ge0}uv\,du\,dv\,dw.
Para cada (u,v) fixos, w varia de -\sqrt{25-u^2-v^2} a +\sqrt{25-u^2-v^2}, dando
\int_{-\sqrt{25-r^2}}^{\sqrt{25-r^2}}dw = 2\sqrt{25-r^2},\quad r^2=u^2+v^2.
Assim
\text{massa} = \frac14\int_{u\ge0,v\ge0}\!uv\cdot2\sqrt{25-u^2-v^2}\,du\,dv = \frac12\iint_{u^2+v^2\le25,\;u,v\ge0}uv\sqrt{25-u^2-v^2}\,du\,dv.

Passo 5

Passamos para coordenadas polares no plano (u,v):
u=r\cos\theta,\quad v=r\sin\theta, \quad r\in[0,5],\;\theta\in[0,\tfrac\pi2].
Então uv = r^2\cos\theta\sin\theta e o elemento de área é r\,dr\,d\theta. Logo
\text{massa} = \frac12 \int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{5} r^2\cos\theta\sin\theta\;\sqrt{25-r^2}\;r\,dr\,d\theta = \frac12 \Bigl[\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\Bigr] \Bigl[\int_{0}^{5}r^3\sqrt{25-r^2}\,dr\Bigr].
Calculamos
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta =\frac12\int_{0}^{\pi/2}\sin2\theta\,d\theta =\frac12\cdot1 =\frac12.

Passo 6

Para o radial usamos t=25-r^2:
\int_{0}^{5}r^3\sqrt{25-r^2}\,dr = \frac12\int_{0}^{25}(25-t)t^{1/2}\,dt = \frac12\Bigl[25\cdot\frac{2}{3}25^{3/2}-\frac{2}{5}25^{5/2}\Bigr] = \frac{1250}{3}.
Assim a massa fica
\text{massa} = \frac12\cdot\frac12\cdot\frac{1250}{3} = \frac{1250}{12} = \frac{625}{6}.

Resposta

A massa do sólido é \displaystyle \frac{625}{6}.

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