Calcule a massa do sólido S de densidade volumétrica de massa de<a(x, y, z)= y limitado pelos planos x+y+z=3, x=0, y=0 e z=0, (Lembrando que m=integral triplaS de<a(x, y, z) d V).

Passo 1

O enunciado pede a massa do sólido S de densidade volumétrica de<a(x,y,z)=y, onde S é a região no primeiro octante limitada pelos planos
x=0, y=0, z=0, x+y+z=3
Para resolver, vamos usar o conceito de integral tripla de massa:
m = integral triplaS de<a(x,y,z),dV

Passo 2

Precisamos expressar S em coordenadas cartesianas e montar a integral. Escolhemos a ordem de integração
zto xto y
Para um y fixo em [0,3], x varia de 0 a 3-y, e para cada (x,y), z varia de 0 a 3-x-y. Assim
m = integraly=0^3 integralx=0^3-y integralz=0^3-x-y y ,dz,dx,dy

Passo 3

Integrando em z primeiro, como y é constante:
integralz=0^3-x-y y,dz = yl[zr]0^3-x-y = y,(3 - x - y)
Então a integral vira
m = integraly=0^3 integralx=0^3-y y,(3 - x - y),dx,dy

Passo 4

Agora integramos em x:
integralx=0^3-y y,(3 - x - y),dx = y integral0^3-y (3 - y - x),dx
Note que integral0^3-y(3-y-x),dx = l[(3-y)x - tfracx^22r]0^3-y = (3-y)^2 - tfrac(3-y)^22 = tfrac(3-y)^22
Logo
integralx=0^3-y y,(3 - x - y),dx = y;(3-y)^22
Ficamos com
m = integraly=0^3 y,(3-y)^22,dy

Passo 5

Por fim, calculamos
m = 12 integral0^3 y,(3-y)^2,dy = 12 integral0^3 l(9y - 6y^2 + y^3r),dy
Agora
integral0^3 9y,dy = 9cdot 3^22 = 812, integral0^3(-6y^2),dy = -2cdot 3^3 = -54, integral0^3 y^3,dy = 3^44 = 814
Somando:
integral0^3(9y -6y^2 + y^3),dy = 812 - 54 + 814 = 162 - 216 + 814 = 274
Então
m = 12cdot 274 = 278

Resposta

m = 278

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