Sejam os vetores baru=(-8 ; 2 ; 16), barv=(6 ; 2 ; 3) e barw=(12 ;-3 ;-24), faça o que se pede:
a) [0, ponto] Encontre os módulos e os versores de baru, barv e barw.
b) [0,6 ponto ] Encontre os angulos: theta1 entre baru e barv, theta2 entre baru e barw e theta3 entre barv e barw.
c) [0,2 ponto ] Encontre o producto vetorial entre v e w.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
bar u = (-8,2,16), bar v=(6,2,3), bar w=(12,-3,-24),
e pede:
– a) módulos (normas) e versores (vetores unitários) de bar u,bar v,bar w.
– b) ângulos theta1 entre bar u e bar v, theta2 entre bar u e bar w, theta3 entre bar v e bar w. Para isso vamos usar o produto escalar e a fórmula
costheta = bar acdotbar b|bar a|;|bar b|
– c) produto vetorial bar vtimesbar w, que se calcula pela matriz 3times 3 com i,j,k.

Passo 2

Calculamos as normas e, em seguida, os versores:
bar u:
|bar u|=raiz(-8)^2+2^2+16^2=raiz64+4+256=raiz324=18,
hat u=bar u|bar u|=l(-tfrac818,tfrac218,tfrac1618r)=l(-tfrac49,tfrac19,tfrac89r)
bar v:
|bar v|=raiz6^2+2^2+3^2=raiz36+4+9=raiz49=7,
hat v=bar v|bar v|=l(tfrac67,tfrac27,tfrac37r)
bar w:
|bar w|=raiz12^2+(-3)^2+(-24)^2=raiz144+9+576=raiz729=27,
hat w=bar w|bar w|=l(tfrac1227,-tfrac327,-tfrac2427r)=l(tfrac49,-tfrac19,-tfrac89r)

Passo 3

Usamos costheta=dfracbar acdotbar b|bar a||bar b|.
1. Entre bar u e bar v:
bar ucdotbar v = (-8)cdot6 +2cdot2 +16cdot3 = -48+4+48 = 4,
costheta1 = 418cdot7 = 263, theta1 = arccosl(tfrac263r)approx 88,18^circ
2. Entre bar u e bar w: percebe-se que bar w = -tfrac32,bar u, logo são colineares e de sentidos opostos,
costheta2 = -1, theta2 = 180^circ
3. Entre bar v e bar w:
bar vcdotbar w = 6cdot12 +2cdot(-3) +3cdot(-24) = 72 -6 -72 = -6,
costheta3 = -67cdot27 = -263, theta3 = arccosl(-tfrac263r)approx 91,82^circ

Passo 4

Calculamos bar vtimesbar w pela regra de Sarrus (determinante):
bar vtimesbar w = i & j & k 6 & 2 & 3 12 & -3 & -24 = i,(2cdot(-24)-3cdot(-3)) - j,(6cdot(-24)-3cdot12) + k,(6cdot(-3)-2cdot12)
Isso dá
bar vtimesbar w = (-48+9), i ;-;(-144-36), j ;+;(-18-24), k = (-39,180,-42)

Resposta

a)
|bar u|=18, hat u=l(-tfrac49,tfrac19,tfrac89r); |bar v|=7, hat v=l(tfrac67,tfrac27,tfrac37r); |bar w|=27, hat w=l(tfrac49,-tfrac19,-tfrac89r)
b)
theta1=arccosl(tfrac263r)approx88,18^circ, theta2=180^circ, theta3=arccosl(-tfrac263r)approx91,82^circ
c)
bar vtimesbar w = (-39,;180,;-42)

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