Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em (0,0):
z=x e^x^2-y^2, P0=(2,2,2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=x,e^x^2-y^2
é diferenciável em (0,0).
Conteúdo: condição suficiente de diferenciabilidade via derivadas parciais contínuas e cálculo do resto de Taylor em primeira ordem.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f.
Para partial f/partial x, usamos produto e cadeia:
fx(x,y) =partialpartial xl(xr),e^x^2-y^2 + x,partialpartial xl(e^x^2-y^2r) =e^x^2-y^2+xcdot e^x^2-y^2cdot2x =e^x^2-y^2(1+2x^2)
Para partial f/partial y, só deriva o expoente:
fy(x,y) =x,partialpartial yl(e^x^2-y^2r) =x,e^x^2-y^2cdot(-2y) =-2xy,e^x^2-y^2
Em (0,0) isso dá
fx(0,0)=e^0(1+0)=1, fy(0,0)=-2cdot0cdot0;e^0=0

Passo 3

Verificar continuidade de fx e fy em (0,0).
Como
lim(x,y)to(0,0)e^x^2-y^2(1+2x^2)=1cdot1=1 e lim(x,y)to(0,0)(-2xy,e^x^2-y^2)=0,
as derivadas parciais tendem aos valores em (0,0). Logo são contínuas ali.

Passo 4

Concluir pela condição suficiente: se as derivadas parciais existem em um entorno de (0,0) e são contínuas em (0,0), então f é diferenciável em (0,0).
Alternativamente, escrevemos o resto
R(x,y) =f(x,y)-l[f(0,0)+fx(0,0),x+fy(0,0),yr] =x,e^x^2-y^2-x =xl(e^x^2-y^2-1r),
e vemos que
|R(x,y)|raizx^2+y^2 =|x|,|e^x^2-y^2-1|raizx^2+y^2 <=raizx^2+y^2,|e^x^2-y^2-1|raizx^2+y^2 ;xrightarrow(x,y)to(0,0);0,
confirmando a diferenciabilidade.

Resposta

A função f(x,y)=x,e^x^2-y^2 é diferenciável em (0,0).

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