Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em :
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável em .
Conteúdo: condição suficiente de diferenciabilidade via derivadas parciais contínuas e cálculo do resto de Taylor em primeira ordem.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de .
Para , usamos produto e cadeia:
Para , só deriva o expoente:
Em isso dá
Passo 3
Verificar continuidade de e em .
Como
as derivadas parciais tendem aos valores em . Logo são contínuas ali.
Passo 4
Concluir pela condição suficiente: se as derivadas parciais existem em um entorno de e são contínuas em , então é diferenciável em .
Alternativamente, escrevemos o resto
e vemos que
confirmando a diferenciabilidade.
Resposta
A função f(x,y)=x,e^x^2-y^2 é diferenciável em (0,0).