Calcule \mathbf{c} \times \mathbf{c} se
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2 \mathbf{k}
\mathbf{b}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k}
\mathbf{c}=\mathbf{j}-5 \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado fornece os vetores (escrevo exatamente os dados do enunciado):
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}
\mathbf{b}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}
\mathbf{c}=\mathbf{j}-5\mathbf{k}
A pergunta é: calcular \mathbf{c}\times\mathbf{c}.

Passo 2

Vou relembrar duas propriedades básicas do produto vetorial que são úteis e fáceis de aplicar na prova (explicadinhas com calma).
Primeira propriedade (magnitude do produto vetorial): para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v},
\lvert \mathbf{u}\times\mathbf{v}\rvert = \lvert \mathbf{u}\rvert\,\lvert \mathbf{v}\rvert\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}. Isto diz que o comprimento de \mathbf{u}\times\mathbf{v} é a área do paralelogramo formado por \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Segunda propriedade (antissimetria): o produto vetorial troca de sinal quando se trocam os fatores:
\mathbf{u}\times\mathbf{v} = -\,\mathbf{v}\times\mathbf{u}.
Uma consequência imediata desta propriedade é que, para qualquer \mathbf{u},
\mathbf{u}\times\mathbf{u} = -\,\mathbf{u}\times\mathbf{u}\quad\Rightarrow\quad 2(\mathbf{u}\times\mathbf{u})=\mathbf{0}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf{0}.
Ou, usando a fórmula de magnitude: se \mathbf{u}=\mathbf{v} então \theta=0 e \sin 0=0, logo \lvert \mathbf{u}\times\mathbf{u}\rvert=0, o que significa vetor nulo.
Portanto, já podemos concluir teoricamente que \mathbf{c}\times\mathbf{c}=\mathbf{0}. Mas vou também calcular explicitamente com componentes para você ver como fica na prática.

Passo 3

Escrevo as componentes de \mathbf{c}. Como \mathbf{c}=\mathbf{j}-5\mathbf{k}, tem-se
\mathbf{c} = (0,\,1,\,-5).
O produto vetorial em componentes pode ser calculado com o determinante 3×3:
\mathbf{c}\times\mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 1 & -5 \\\\ 0 & 1 & -5 \end{vmatrix}.

Passo 4

Agora desenvolvo o determinante por cofactores (linha 1):
\mathbf{c}\times\mathbf{c} = \mathbf{i}\big(1\cdot(-5)-(-5)\cdot 1\big) - \mathbf{j}\big(0\cdot(-5)-(-5)\cdot 0\big) + \mathbf{k}\big(0\cdot 1 - 1\cdot 0\big).
Calculo cada termo dentro dos parênteses:
1\cdot(-5)-(-5)\cdot 1 = -5 - (-5) = -5 +5 = 0,
0\cdot(-5)-(-5)\cdot 0 = 0 - 0 = 0,
0\cdot 1 - 1\cdot 0 = 0 - 0 = 0.
Substituindo:
\mathbf{c}\times\mathbf{c} = \mathbf{i}\cdot 0 - \mathbf{j}\cdot 0 + \mathbf{k}\cdot 0 = 0\mathbf{i}+0\mathbf{j}+0\mathbf{k}.

Passo 5

Interpretação final curta e encorajadora: tanto pela propriedade geral \mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf{0} quanto pelo cálculo direto com determinante obtemos o vetor nulo. Na prova, quando aparecer \mathbf{v}\times\mathbf{v}, já marca como \mathbf{0} sem medo — é um atalho seguro e rápido.

Resposta

\mathbf{0}=0\mathbf{i}+0\mathbf{j}+0\mathbf{k}

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