Estude a convergência das séries:
\sum \frac{1}{n^{p}}, \quad \sum \frac{1}{n!}, \quad \sum \frac{a^{n}}{n!}, \quad \sum \frac{n^{n}}{n!} .

Passo 1

O que o problema pede: estudar a convergência das quatro séries abaixo (isto é, dizer se convergem ou divergem, e em que condições, quando aplicável):
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}},\qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!},\qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{n}}{n!},\qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}.
Informações relevantes que temos (direto do enunciado):
  • As séries aparecem em termos gerais n grande.
  • Nas três primeiras séries os termos são não negativos (se a for real, na terceira consideramos convergência absoluta).
  • Para decidir convergência será útil usar testes clássicos: teste integral (para a primeira), e o teste da razão (d’Alembert) para as séries que contêm fatoriais. Vou apresentar esses testes com calma antes de aplicá-los.

Passo 2

Aula rápida: Teste integral (útil para séries do tipo 1/n^p).
Enunciado do teste (versão informal e prática): se f(x) é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty), então a série \sum_{n=1}^{\infty} f(n) converge se, e somente se, a integral impropria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge. A ideia intuitiva: a soma de retângulos de base 1 e altura f(n) é comparável à área sob a curva y=f(x).
Aplicação a f(x)=x^{-p}. Calcule a integral:
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \lim_{t\to\infty} \int_{1}^{t} x^{-p}\,dx.
Se p\neq 1, a primitiva é \dfrac{x^{1-p}}{1-p}. Assim,
\int_{1}^{t} x^{-p}\,dx = \frac{t^{1-p}-1}{1-p}.
Agora tomar o limite t\to\infty:
  • Se p>1 então 1-p<0 e t^{1-p}\to 0, logo a integral converge para \dfrac{1}{p-1}.
  • Se p<1 então 1-p>0 e t^{1-p}\to\infty, logo a integral diverge.
  • Se p=1 temos \int_{1}^{t} x^{-1}\,dx = \ln t\to\infty, diverge.
Pela equivalência do teste integral, concluímos: a série \sum 1/n^{p} converge se, e somente se, p>1; diverge para p\le 1. (Exemplos concretos: p=1 é a série harmônica que diverge; p=2 converge — esta última tem soma conhecida \pi^{2}/6, mas não precisamos disso aqui.)

Passo 3

Aula rápida: Teste da razão (d’Alembert) — explicado devagar.
Considere uma série de termos positivos \sum a_n (ou, para séries com sinais, aplicamos o teste às |a_n| para obter convergência absoluta). Se o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
existe, então:
  • se L<1 a série converge (geométricamente dominada por uma série geométrica);
  • se L>1 a série diverge (os termos não vão a zero suficientemente rápido);
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Vamos usar este teste para as séries que têm n! no denominador — é o candidato mais direto e elementar.

Passo 4

Aplicando o teste da razão à série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n!}.
Tomamos a_n = \dfrac{1}{n!}. Então
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1/(n+1)!}{1/n!} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}.
Tomando limite,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1} = 0.
Como 0<1, pelo teste da razão a série \sum \dfrac{1}{n!} converge. (Comentário didático: na verdade soma-se a constante e-1 se começar em n=1, porque \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}=e, mas não precisamos do valor exato para afirmar convergência.)

Passo 5

Aplicando o teste da razão à série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{a^{n}}{n!} (onde a é um número real qualquer).
Considere b_n=\dfrac{a^{n}}{n!}. Usamos o valor absoluto para tratar convergência absoluta (se \sum |b_n| converge então \sum b_n converge absolutamente e, portanto, converge):
\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|} = \frac{|a|^{\,n+1}/(n+1)!}{|a|^{\,n}/n!} = \frac{|a|}{n+1}.
Tomando o limite,
\lim_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|} = \lim_{n\to\infty}\frac{|a|}{n+1} = 0.
Como o limite é 0<1, pela razão a série \sum \dfrac{a^{n}}{n!} converge absolutamente para todo a\in\mathbb{R} (na prática, é a série associada à função exponencial \mathrm{e}^{a}). Portanto, não importa a: a série converge.

Passo 6

Aplicando o teste da razão à série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^{n}}{n!}.
Defina c_n=\dfrac{n^{n}}{n!}. Calcule a razão:
\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{(n+1)^{\,n+1}/(n+1)!}{n^{n}/n!} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)\,n^{n}}.
Simplificando,
\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{(n+1)^{n}}{n^{n}} =\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}.
Agora tome o limite quando n\to\infty. Lembrando um limite clássico,
\lim_{n\to\infty}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n} = e,
onde e\approx 2{,}71828. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n} = e.
Como e>1, pelo teste da razão a série \sum \dfrac{n^{n}}{n!} diverge. (Intuição: os termos não vão a zero — crescem rapidamente — portanto a soma não pode convergir.)
Extra (verificação do termo geral): note também que, já que a razão tende a e>1, os termos c_n crescem exponencialmente para o infinito, então \lim_{n\to\infty} c_n \neq 0, condição necessária para convergência de qualquer série; isso também garante divergência.

Passo 7

Resumo pedagógico curto para memorizar na prova:
  • Para séries do tipo \sum 1/n^{p} use o teste integral (ou o critério de p‑série): converge ⇔ p>1.
  • Para séries com n! no denominador, o teste da razão é o caminho natural: normalmente o limite será 0 (convergência) quando o numerador cresce menos que factorial, ou algum número >1 (divergência) se o numerador cresce mais rápido.
Força aí — com esses passos você resolve essas séries na prova sem pânico!

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1 (diverge para p\le 1).
A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} converge.
A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!} converge para todo a\in\mathbb{R} (convergência absoluta).
A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n}}{n!} diverge.

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