Estude a convergência das séries:
Passo 1
O que o problema pede: estudar a convergência das quatro séries abaixo (isto é, dizer se convergem ou divergem, e em que condições, quando aplicável):
Informações relevantes que temos (direto do enunciado):
- As séries aparecem em termos gerais
grande. - Nas três primeiras séries os termos são não negativos (se
for real, na terceira consideramos convergência absoluta). - Para decidir convergência será útil usar testes clássicos: teste integral (para a primeira), e o teste da razão (d’Alembert) para as séries que contêm fatoriais. Vou apresentar esses testes com calma antes de aplicá-los.
Passo 2
Aula rápida: Teste integral (útil para séries do tipo
).
Enunciado do teste (versão informal e prática): se é positiva, contínua e decrescente em
, então a série
converge se, e somente se, a integral impropria
converge. A ideia intuitiva: a soma de retângulos de base
e altura
é comparável à área sob a curva
.
Enunciado do teste (versão informal e prática): se
Aplicação a
. Calcule a integral:
Se
, a primitiva é
. Assim,
Agora tomar o limite
:
- Se
então e , logo a integral converge para . - Se
então e , logo a integral diverge. - Se
temos , diverge.
Pela equivalência do teste integral, concluímos: a série
converge se, e somente se,
; diverge para
. (Exemplos concretos:
é a série harmônica que diverge;
converge — esta última tem soma conhecida
, mas não precisamos disso aqui.)
Passo 3
Aula rápida: Teste da razão (d’Alembert) — explicado devagar.
Considere uma série de termos positivos (ou, para séries com sinais, aplicamos o teste às
para obter convergência absoluta). Se o limite
Considere uma série de termos positivos
existe, então:
- se
a série converge (geométricamente dominada por uma série geométrica); - se
a série diverge (os termos não vão a zero suficientemente rápido); - se
o teste é inconclusivo.
Vamos usar este teste para as séries que têm
no denominador — é o candidato mais direto e elementar.
Passo 4
Aplicando o teste da razão à série
.
Tomamos
. Então
Tomando limite,
Como
, pelo teste da razão a série
converge. (Comentário didático: na verdade soma-se a constante
se começar em
, porque
, mas não precisamos do valor exato para afirmar convergência.)
Passo 5
Aplicando o teste da razão à série
(onde
é um número real qualquer).
Considere
. Usamos o valor absoluto para tratar convergência absoluta (se
converge então
converge absolutamente e, portanto, converge):
Tomando o limite,
Como o limite é
, pela razão a série
converge absolutamente para todo
(na prática, é a série associada à função exponencial
). Portanto, não importa
: a série converge.
Passo 6
Aplicando o teste da razão à série
.
Defina
. Calcule a razão:
Simplificando,
Agora tome o limite quando
. Lembrando um limite clássico,
onde
. Portanto
Como
, pelo teste da razão a série
diverge. (Intuição: os termos não vão a zero — crescem rapidamente — portanto a soma não pode convergir.)
Extra (verificação do termo geral): note também que, já que a razão tende a
, os termos
crescem exponencialmente para o infinito, então
, condição necessária para convergência de qualquer série; isso também garante divergência.
Passo 7
Resumo pedagógico curto para memorizar na prova:
- Para séries do tipo
use o teste integral (ou o critério de p‑série): converge ⇔ . - Para séries com
no denominador, o teste da razão é o caminho natural: normalmente o limite será (convergência) quando o numerador cresce menos que factorial, ou algum número (divergência) se o numerador cresce mais rápido.
Força aí — com esses passos você resolve essas séries na prova sem pânico!
Resposta
A série
converge se, e somente se,
(diverge para
).
A série converge.
A série converge para todo
(convergência absoluta).
A série diverge.
A série
A série
A série