Se
para todo
e
para todo
, então
diverge.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Para todo
vale . - Existe um índice
tal que para todo temos .
O que se pede:
- Mostrar que a série
diverge (ou seja, não converge).
Passo 2
Lema (teste necessário para convergência): se a série
converge, então os termos da série tendem a zero:
Explicação e prova curta: seja
a soma parcial. Se
converge, então existe
. Observe que
e, tomando limite em ambos os lados,
Portanto, convergência da série implica necessariamente que os termos
vão a zero.
Passo 3
Estratégia: usar o teste necessário acima na forma contrária (ou seja, mostrar que os termos não tendem a zero e concluir que a série não pode convergir).
Mostrando que
: suponha, por absurdo, que
. Então, tomando
, pela definição de limite existe
tal que para todo
vale
Por outro lado, pelo enunciado, para todo
vale
. Se escolhermos
obtemos simultaneamente
e
, o que é impossível. Logo a suposição
é falsa.
Passo 4
Conclusão lógica: como não é verdade que
, pela propriedade do Passo 2 a série
não pode convergir. Em outras palavras, a série diverge.
Resposta
A série diverge.