Se a_{n} \neq 0 para todo n e \left|a_{n}\right|>1 para todo n>N_{0}, então \sum a_{n} diverge.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Para todo n vale a_{n}\neq 0.
  • Existe um índice N_{0} tal que para todo n>N_{0} temos \left|a_{n}\right|>1.
O que se pede:
  • Mostrar que a série \displaystyle \sum a_{n} diverge (ou seja, não converge).

Passo 2

Lema (teste necessário para convergência): se a série \displaystyle \sum a_{n} converge, então os termos da série tendem a zero:
\lim_{n\to\infty} a_{n} = 0.
Explicação e prova curta: seja S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k} a soma parcial. Se \sum a_{n} converge, então existe S=\lim_{n\to\infty} S_{n}. Observe que
a_{n}=S_{n}-S_{n-1}
e, tomando limite em ambos os lados,
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty} S_{n}-\lim_{n\to\infty} S_{n-1}=S-S=0.
Portanto, convergência da série implica necessariamente que os termos a_{n} vão a zero.

Passo 3

Estratégia: usar o teste necessário acima na forma contrária (ou seja, mostrar que os termos não tendem a zero e concluir que a série não pode convergir).
Mostrando que \lim_{n\to\infty} a_{n}\neq 0: suponha, por absurdo, que \lim_{n\to\infty} a_{n}=0. Então, tomando \varepsilon=\tfrac{1}{2}, pela definição de limite existe N tal que para todo n>N vale
|a_{n}-0|<\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad |a_{n}|<\tfrac{1}{2}.
Por outro lado, pelo enunciado, para todo n>N_{0} vale |a_{n}|>1. Se escolhermos n>\max\{N,N_{0}\} obtemos simultaneamente |a_{n}|<\tfrac{1}{2} e |a_{n}|>1, o que é impossível. Logo a suposição \lim_{n\to\infty} a_{n}=0 é falsa.

Passo 4

Conclusão lógica: como não é verdade que \lim_{n\to\infty} a_{n}=0, pela propriedade do Passo 2 a série \displaystyle \sum a_{n} não pode convergir. Em outras palavras, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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