Calcule \mathbf{m m c}(\mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{3}, \ldots, \mathbf{1 2}).
a) 25200 .
b) 26460 .
c) 26960 .
d) 27240 .
е) 27720 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o mínimo múltiplo comum de todos os inteiros de 1 até 12. Em símbolos, quer-se:
\operatorname{mmc}(1,2,3,\ldots,12).
As informações dadas são exatamente os números 1,2,\dots,12.

Passo 2

Definição e estratégia (explicação didática).
  • O mínimo múltiplo comum (mmc) de um conjunto de inteiros positivos é o menor inteiro positivo que é divisível por todos os elementos do conjunto.
  • Um método prático e seguro para calcular o mmc é usar fatoração em números primos: fatorar cada inteiro em potências de primos e, para cada primo, tomar a maior potência que aparece em alguma fatoração. O mmc é o produto desses primos elevados às respectivas maiores potências.
  • Por que isso funciona (intuição): para que um número seja divisível por todos os elementos, para cada primo p deve conter pelo menos a maior potência de p que aparece em qualquer um dos fatores; tomar exatamente essas maiores potências dá o menor número possível que satisfaz todas as divisibilidades.

Passo 3

Listar os primos relevantes e encontrar as maiores potências que aparecem entre 1 e 12.
  • Os primos menores ou iguais a 12 são \;2,\;3,\;5,\;7,\;11.
  • Para o primo \;2: as potências 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16>12. Portanto a maior potência de 2 que aparece em algum número até 12 é 2^3.
  • Para o primo \;3: as potências 3^1=3, 3^2=9, 3^3=27>12. Portanto a maior potência de 3 que aparece é 3^2.
  • Para os primos \;5,\;7,\;11: cada um aparece no máximo na potência p^1 (porque 5^2=25>12, etc.), então tomamos 5^1,\;7^1,\;11^1.

Passo 4

Construir o mmc como o produto das maiores potências encontradas e calcular passo a passo.
\operatorname{mmc}(1,2,\ldots,12)=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11.
Agora calculamos em etapas fáceis de acompanhar:
2^3\cdot 3^2 = 8\cdot 9 = 72,
72\cdot 5 = 360,
360\cdot 7 = 2520,
2520\cdot 11 = 27720.
Observação rápida para ganhar confiança: 27720 é divisível por 8 (porque contém 2^3), por 9 (porque contém 3^2), por 10 (porque contém 2 e 5), por 11 (porque contém 11), e assim por diante — logo é múltiplo de todos os números de 1 a 12. E por construção é o menor com essa propriedade.

Passo 5

Mensagem de incentivo: você já aprendeu um método confiável para mmc que serve pra qualquer conjunto de inteiros — fatorar e escolher as maiores potências de primos. Na prova, faça exatamente isso, calcule as potências e multiplique em etapas para não errar.

Resposta

\,27720

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