Calcule
.
a) 25200 .
b) 26460 .
c) 26960 .
d) 27240 .
е) 27720 .
a) 25200 .
b) 26460 .
c) 26960 .
d) 27240 .
е) 27720 .
Passo 1
O enunciado pede para calcular o mínimo múltiplo comum de todos os inteiros de
até
. Em símbolos, quer-se:
As informações dadas são exatamente os números
.
Passo 2
Definição e estratégia (explicação didática).
- O mínimo múltiplo comum (mmc) de um conjunto de inteiros positivos é o menor inteiro positivo que é divisível por todos os elementos do conjunto.
- Um método prático e seguro para calcular o mmc é usar fatoração em números primos: fatorar cada inteiro em potências de primos e, para cada primo, tomar a maior potência que aparece em alguma fatoração. O mmc é o produto desses primos elevados às respectivas maiores potências.
- Por que isso funciona (intuição): para que um número seja divisível por todos os elementos, para cada primo
deve conter pelo menos a maior potência de que aparece em qualquer um dos fatores; tomar exatamente essas maiores potências dá o menor número possível que satisfaz todas as divisibilidades.
Passo 3
Listar os primos relevantes e encontrar as maiores potências que aparecem entre
e
.
- Os primos menores ou iguais a
são . - Para o primo
: as potências , , , . Portanto a maior potência de que aparece em algum número até é . - Para o primo
: as potências , , . Portanto a maior potência de que aparece é . - Para os primos
: cada um aparece no máximo na potência (porque , etc.), então tomamos .
Passo 4
Construir o mmc como o produto das maiores potências encontradas e calcular passo a passo.
Agora calculamos em etapas fáceis de acompanhar:
Observação rápida para ganhar confiança:
é divisível por
(porque contém
), por
(porque contém
), por
(porque contém
e
), por
(porque contém
), e assim por diante — logo é múltiplo de todos os números de
a
. E por construção é o menor com essa propriedade.
Passo 5
Mensagem de incentivo: você já aprendeu um método confiável para mmc que serve pra qualquer conjunto de inteiros — fatorar e escolher as maiores potências de primos. Na prova, faça exatamente isso, calcule as potências e multiplique em etapas para não errar.