Calcule
onde
Passo 1
O problema pede para calcular a transformada de Laplace
da função
.\n
Informações dadas:
definida para
.\n
O que se quer: avaliar
Informações dadas:
O que se quer: avaliar
para valores de
em que a integral converge.
Passo 2
Definição e análise de convergência.\n
A transformada de Laplace de uma função é
A transformada de Laplace de uma função
onde
geralmente é um número real positivo ou um número complexo com
. Aqui
, então a integral é
Antes de calcular, verificamos a convergência em
e
:
- Perto de
: o integrando se comporta como . Sabemos que
ou seja, é finito — portanto não há problema de divergência no zero.
- Para
: o fator domina e decai exponencialmente quando , garantindo convergência da integral impropria no infinito.
Conclusão: a integral converge para
. Agora vamos calcular o valor explícito.
Passo 3
Mudança de variável para usar a função Gama.\n
Começamos com a integral
Começamos com a integral
Faço a substituição
. Então
e
. Também
. Substituindo:
Agrupando os fatores de
:
Reconhecemos a integral como a função Gama no ponto
. A definição da função Gama é
Aqui
e queremos
, que corresponde a
, ou seja
. Assim
Portanto
Passo 4
Cálculo de
.\n
Vamos mostrar que . Defina
Vamos mostrar que
Faça a substituição
. Então
e
. Assim a integral vira
Logo
O integral gaussiano conhecido é
Como a função
é par, temos
. Portanto
(Sketch da prova do integral gaussiano: se
então
. Passando para coordenadas polares obtém-se
, logo
.)
Passo 5
Conclusão combinando tudo.\n
Substituindo em
Substituindo
obtemos
E lembrando a análise de convergência, isso vale para
.