Calcule mathcal{L}\{f(t)\} onde f(t)=\left\{\begin{array}{lr}\operatorname{sen}(t), & 0 \leq t<\pi \\\\ 0, & t \geq \pi\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para calcular \mathcal{L}\{f(t)\}\) onde a função é dada por
\[f(t)=\begin{cases} \operatorname{sen}(t), & 0 \le t < \pi,\\[4pt] 0, & t \ge \pi. \end{cases}
Informações relevantes:
A função é \operatorname{sen}(t)\] apenas no intervalo \([0,\pi) e é nula a partir de t=\pi.
Precisamos do transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\}, isto é, calcular a integral de 0 a \infty de e^{-st}f(t)\,dt.
Não vou resolver nada neste passo; só organizei o que é pedido e os dados que temos.]
Passo 2
Começamos lembrando a definição da transformada de Laplace. A transformada de uma função f(t) é
onde t é a variável do tempo (variável de integração) e s é a variável complexa da transformada. Para funções que decaem razoavelmente, a integral converge para \Re(s)>0; aqui assumiremos s>0 para garantir convergência das integrais que aparecerem.
Passo 3
Como f(t)=0 para t\ge\pi, a integral de 0 a \infty reduz-se à integral de 0 a \pi. Logo
Então nossa tarefa virou calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi} e^{-st}\sin t\,dt.
Passo 4
Para integrar \displaystyle \int e^{at}\sin(bt)\,dt (caso geral), existe uma primitiva conhecida:
\int e^{at}\sin(bt)\,dt = \frac{e^{at}\bigl(a\sin(bt)-b\cos(bt)\bigr)}{a^{2}+b^{2}} + C.
Aqui a e b são constantes e C é a constante de integração. Essa fórmula pode ser obtida por duas integrações por partes; se quiseres eu mostro esse derivação, mas vou aplicá-la diretamente para não alongar demais o cálculo. No nosso caso temos a=-s e b=1. Substituindo:
\int e^{-st}\sin t\,dt = \frac{e^{-st}\bigl(-s\sin t - \cos t\bigr)}{s^{2}+1} + C.
Passo 5
Agora aplicamos a primitiva nos limites de 0 a \pi. Definindo a primitiva
F(t)=\frac{e^{-st}\bigl(-s\sin t - \cos t\bigr)}{s^{2}+1},
temos
\int_{0}^{\pi} e^{-st}\sin t\,dt = F(\pi)-F(0).
Calculemos F(\pi) e F(0). Usamos os valores trigonométricos \sin\pi=0, \cos\pi=-1, \sin0=0, \cos0=1.
Interpretando o resultado: a transformada de Laplace de f(t) é exatamente essa integral calculada. Uma verificação rápida (opcional) é usar a transformada inteira de \sin t, que é \dfrac{1}{s^{2}+1}, e notar que a porção a partir de \pi contribui com -\dfrac{e^{-s\pi}}{s^{2}+1}, de modo que o integral truncado até \pi fica \dfrac{1}{s^{2}+1}-\left(-\dfrac{e^{-s\pi}}{s^{2}+1}\right)=\dfrac{1+e^{-s\pi}}{s^{2}+1}, consistente com o calculado.