Calcule
onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para a função
Informações dadas e condições relevantes:
- A função é
para (hipótese padrão para transformada de Laplace). - Queremos a transformada de Laplace
, isto é, o valor do integral apropriado e a condição de convergência em termos de .
Passo 2
Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e explicar o que cada símbolo significa:
Aqui:
-
é a função de tempo que queremos transformar; -
é a variável complexa da transformada (na prova normalmente consideramos real e suficientemente grande para garantir convergência); - a integral é imprópria no limite superior, então precisa convergir (normalmente exige
alguma constante).
Passo 3
Existe uma propriedade muito útil (que vamos usar): a propriedade de deslocamento exponencial.
Se , então, para qualquer constante
,
Se
Prova rápida e intuitiva: pela definição,
Ou seja, multiplicar por
desloca a transformada em
para
. Vai ser muito prático aqui porque
é
vezes
.
Passo 4
Então precisamos primeiro conhecer
. Vamos calcular
assumindo
para garantir convergência nas etapas seguintes. Vou calcular esse integral por partes duas vezes (método elementar que dá a fórmula clássica).
Primeira integração por partes:
- Escolho
e . - Então
e (porque ).
Aplicando partes:
Agora avaliamos o termo de fronteira: para
temos
quando
, e em
o termo é zero também. Portanto a primeira parte dá 0, e resta
Segunda integração por partes (para
):
- Escolho
e . - Então
e .
Aplicando partes:
Os termos de fronteira são zero (pela mesma razão), e
Mas
para
. Logo
Voltando à expressão para
,
Portanto, para
,
Observação prática: isso coincide com a fórmula geral
(aqui
dá
).
Passo 5
Agora aplicamos a propriedade do deslocamento exponencial (Passo 3). Como
e a transformada de
é
, obtemos
Para convergência devemos ter
, isto é,
.