Calcule mathcal{L}\{f(t)\} onde
f(t)=e^{3 t} t^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathcal{L}\{f(t)\} para a função
f(t)=e^{3t}t^{2}.
Informações dadas e condições relevantes:
  • A função é f(t)=e^{3t}t^{2} para t\ge 0 (hipótese padrão para transformada de Laplace).
  • Queremos a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\}, isto é, o valor do integral apropriado e a condição de convergência em termos de s.

Passo 2

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e explicar o que cada símbolo significa:
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} g(t)\,dt.
Aqui:
  • g(t) é a função de tempo que queremos transformar;
  • s é a variável complexa da transformada (na prova normalmente consideramos s real e suficientemente grande para garantir convergência);
  • a integral é imprópria no limite superior, então precisa convergir (normalmente exige \operatorname{Re}(s)> alguma constante).

Passo 3

Existe uma propriedade muito útil (que vamos usar): a propriedade de deslocamento exponencial.
Se G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s), então, para qualquer constante a,
\mathcal{L}\{e^{a t}g(t)\}(s)=G(s-a).
Prova rápida e intuitiva: pela definição,
\mathcal{L}\{e^{a t}g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t} g(t)\,dt =\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a) t} g(t)\,dt=G(s-a).
Ou seja, multiplicar por e^{a t} desloca a transformada em s para s-a. Vai ser muito prático aqui porque f(t)=e^{3t}t^{2} é e^{3t} vezes t^{2}.

Passo 4

Então precisamos primeiro conhecer G(s)=\mathcal{L}\{t^{2}\}(s). Vamos calcular
G(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{2}\,dt,
assumindo \operatorname{Re}(s)>0 para garantir convergência nas etapas seguintes. Vou calcular esse integral por partes duas vezes (método elementar que dá a fórmula clássica).
Primeira integração por partes:
  • Escolho u=t^{2} e dv=e^{-s t}dt.
  • Então du=2t\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t} (porque \int e^{-s t}dt=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}).
Aplicando partes:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{2}\,dt = \Big[ -\frac{t^{2}}{s}e^{-s t} \Big]_{0}^{\infty} + \frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t\,dt.
Agora avaliamos o termo de fronteira: para \operatorname{Re}(s)>0 temos e^{-s t}t^{2}\to 0 quando t\to\infty, e em t=0 o termo é zero também. Portanto a primeira parte dá 0, e resta
\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{2}\,dt = \frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t\,dt.
Segunda integração por partes (para \int_{0}^{\infty} e^{-s t} t\,dt):
  • Escolho u=t e dv=e^{-s t}dt.
  • Então du=dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}.
Aplicando partes:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t\,dt = \Big[ -\frac{t}{s}e^{-s t} \Big]_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
Os termos de fronteira são zero (pela mesma razão), e
\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t\,dt = \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
Mas \int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt = \dfrac{1}{s} para \operatorname{Re}(s)>0. Logo
\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t\,dt = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Voltando à expressão para G(s),
G(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{2}\,dt = \frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}}.
Portanto, para \operatorname{Re}(s)>0,
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2}{s^{3}}.
Observação prática: isso coincide com a fórmula geral \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}} (aqui n=2 2!/s^{3}=2/s^{3}).

Passo 5

Agora aplicamos a propriedade do deslocamento exponencial (Passo 3). Como f(t)=e^{3t}t^{2}= e^{3t}\cdot t^{2} e a transformada de t^{2} é G(s)=\dfrac{2}{s^{3}}, obtemos
\mathcal{L}\{e^{3t}t^{2}\}(s)=G(s-3)=\frac{2}{(s-3)^{3}}.
Para convergência devemos ter \operatorname{Re}(s-3)>0, isto é, \operatorname{Re}(s)>3.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{3t}t^{2}\}(s)=\frac{2}{(s-3)^{3}},\quad \operatorname{Re}(s)>3

Exercícios relacionados