Calcule \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} onde
(a) f(t)=\int_{0}^{t}(t-\tau)^{2} \cos 2 \tau d \tau

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathcal{L}\{f(t)\} onde está dado
f(t)=\int_{0}^{t}(t-\tau)^{2}\cos 2\tau\;d\tau.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função f(t) é definida por uma integral de 0 até t com integrando (t-\tau)^{2}\cos 2\tau.
  • O que se pede é a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\}.

Passo 2

Interpretar a integral: note que a integral tem a forma padrão de uma convolução. A convolução de duas funções g e h é definida por
(g*h)(t)=\int_{0}^{t} g(t-\tau)\,h(\tau)\;d\tau.
Comparando com f(t), podemos escolher
g(t)=t^{2},\qquad h(t)=\cos 2t,
pois então (g*h)(t)=\int_{0}^{t}(t-\tau)^{2}\cos 2\tau\;d\tau=f(t). Ou seja, f=g*h.

Passo 3

Usar o teorema da convolução para a transformada de Laplace. O teorema diz que, para funções com transformadas bem definidas,
\mathcal{L}\{g*h\}(s)=\mathcal{L}\{g\}(s)\cdot \mathcal{L}\{h\}(s).
Logo basta calcular \mathcal{L}\{t^{2}\} e \mathcal{L}\{\cos 2t\} e multiplicar.
Recordando fórmulas úteis:
  • Para n inteiro não negativo vale
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Aqui, com n=2,
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.
  • Para o cosseno,
\mathcal{L}\{\cos a t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Com a=2,
\mathcal{L}\{\cos 2t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4}.

Passo 4

Multiplicar as transformadas (pelo teorema da convolução):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)\cdot\mathcal{L}\{\cos 2t\}(s) =\frac{2}{s^{3}}\cdot\frac{s}{s^{2}+4} =\frac{2}{s^{2}(s^{2}+4)}.

Passo 5

Podemos simplificar essa expressão por frações parciais para ficar numa forma mais usual. Queremos escrever
\frac{2}{s^{2}(s^{2}+4)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{Cs+D}{s^{2}+4}.
Multiplicando por s^{2}(s^{2}+4) e igualando coeficientes obtém-se A=0, B=\tfrac{1}{2}, C=0, D=-\tfrac{1}{2}. Assim
\frac{2}{s^{2}(s^{2}+4)}=\frac{1}{2s^{2}}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}.

Passo 6

Interpretação final e condição de convergência: a expressão obtida vale para \Re(s)>0 (região usual de convergência das transformadas usadas). Portanto a transformada de Laplace fica nas formas equivalentes encontradas.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{2}{s^{2}(s^{2}+4)}=\frac{1}{2s^{2}}-\frac{1}{2(s^{2}+4)},\\ \Re(s)>0

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