Calcule
onde
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde está dado
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função
é definida por uma integral de até com integrando . - O que se pede é a transformada de Laplace
.
Passo 2
Interpretar a integral: note que a integral tem a forma padrão de uma convolução. A convolução de duas funções
e
é definida por
Comparando com
, podemos escolher
pois então
. Ou seja,
.
Passo 3
Usar o teorema da convolução para a transformada de Laplace. O teorema diz que, para funções com transformadas bem definidas,
Logo basta calcular
e
e multiplicar.
Recordando fórmulas úteis:
- Para
inteiro não negativo vale
Aqui, com
,
- Para o cosseno,
Com
,
Passo 4
Multiplicar as transformadas (pelo teorema da convolução):
Passo 5
Podemos simplificar essa expressão por frações parciais para ficar numa forma mais usual. Queremos escrever
Multiplicando por
e igualando coeficientes obtém-se
,
,
,
. Assim
Passo 6
Interpretação final e condição de convergência: a expressão obtida vale para
(região usual de convergência das transformadas usadas). Portanto a transformada de Laplace fica nas formas equivalentes encontradas.