Nos problemas de 7 a 10, achar a solução do problema de valor inicial proposto.
7- y^{\prime}-y=2 x e^{2 x}, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
y' - y = 2x e^{2x},\qquad y(0)=1.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona a derivada y' com y e uma função conhecida de x.
  • Há uma condição inicial em x=0: y(0)=1.

Passo 2

Vamos escrever a equação numa forma padrão em que é fácil operar com fatores que transformam o lado esquerdo numa derivada exata. Colocando-a na forma
y' + p(x)\,y = q(x),
temos aqui
p(x) = -1,\qquad q(x) = 2x e^{2x}.
Explicando: p(x) é a função que aparece multiplicando y quando a equação é escrita nessa forma padrão, e q(x) é o termo conhecido (a “fonte”) que depende só de x.

Passo 3

Estratégia (explicação didática): para equações lineares de primeira ordem da forma acima, procura-se um fator integrante \mu(x) tal que, ao multiplicar toda a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)\,y(x). Formalmente queremos \mu satisfazendo
(\mu y)' = \mu y' + \mu' y.
Comparando com \mu(y' + p y) vemos que é preciso ter
\mu' = p\,\mu.
Isto é uma equação diferencial simples para \mu. A solução geral é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Aqui p(x)=-1, logo
\mu(x)=\exp\!\left(\int -1\,dx\right)=\exp(-x)=e^{-x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{-x}. Fazendo isso obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = 2x e^{2x}\,e^{-x}.
No lado direito, simplificando exponenciais,
2x e^{2x}\,e^{-x} = 2x e^{x}.
No lado esquerdo reconhecemos a derivada calculada no passo anterior:
e^{-x}y' - e^{-x}y = \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr).
Portanto a equação transformada fica
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr) = 2x e^{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
e^{-x}y = \int 2x e^{x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora calculamos a integral \int 2x e^{x}\,dx por partes. Escolhemos:
u = 2x \quad\Rightarrow\quad du = 2\,dx,
dv = e^{x}\,dx \quad\Rightarrow\quad v = e^{x}.
A fórmula de integração por partes diz \int u\,dv = u v - \int v\,du. Aplicando:
\int 2x e^{x}\,dx = 2x e^{x} - \int e^{x}\cdot 2\,dx = 2x e^{x} - 2\int e^{x}\,dx.
Como \int e^{x}\,dx = e^{x}, obtemos
\int 2x e^{x}\,dx = 2x e^{x} - 2 e^{x} + C = 2 e^{x}(x-1) + C.
Então a relação integrada é
e^{-x}y = 2 e^{x}(x-1) + C.

Passo 6

Isolando y (multiplicando ambos os lados por e^{x}):
y(x) = 2 e^{2x}(x-1) + C e^{x},
onde C ainda é a constante a determinar pela condição inicial. Nesta expressão, C representa a constante de integração que surge ao integrar a equação transformada.

Passo 7

Usamos a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 em y(x)=2 e^{2x}(x-1)+C e^{x} obtemos
y(0) = 2 e^{0}(0-1) + C e^{0} = 2\cdot 1 \cdot (-1) + C\cdot 1 = -2 + C.
Como y(0)=1, segue
-2 + C = 1 \quad\Rightarrow\quad C = 3.

Resposta

y(x)=2 e^{2x}(x-1)+3 e^{x}

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