Nos problemas de 7 a 10, achar a solução do problema de valor inicial proposto.
7-
.
7-
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona a derivada
com e uma função conhecida de . - Há uma condição inicial em
: .
Passo 2
Vamos escrever a equação numa forma padrão em que é fácil operar com fatores que transformam o lado esquerdo numa derivada exata. Colocando-a na forma
temos aqui
Explicando:
é a função que aparece multiplicando
quando a equação é escrita nessa forma padrão, e
é o termo conhecido (a “fonte”) que depende só de
.
Passo 3
Estratégia (explicação didática): para equações lineares de primeira ordem da forma acima, procura-se um fator integrante
tal que, ao multiplicar toda a equação por
, o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Formalmente queremos
satisfazendo
Comparando com
vemos que é preciso ter
Isto é uma equação diferencial simples para
. A solução geral é
Aqui
, logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Fazendo isso obtemos
No lado direito, simplificando exponenciais,
No lado esquerdo reconhecemos a derivada calculada no passo anterior:
Portanto a equação transformada fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração. Agora calculamos a integral
por partes. Escolhemos:
A fórmula de integração por partes diz
. Aplicando:
Como
, obtemos
Então a relação integrada é
Passo 6
Isolando
(multiplicando ambos os lados por
):
onde
ainda é a constante a determinar pela condição inicial. Nesta expressão,
representa a constante de integração que surge ao integrar a equação transformada.
Passo 7
Usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
em
obtemos
Como
, segue