Nos problemas de 7 a 10, achar a solução do problema de valor inicial proposto.
10- y^{\prime}-2 y=e^{2 x}, y(0)=2.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
y' - 2y = e^{2x},\qquad y(0)=2.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vamos transformar a equação numa forma padrão e apresentar a ideia que vou usar (calma, eu explico tim-tim por tim-tim). A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
y' + p(x)\,y = q(x).
Aqui, comparando, temos
p(x) = -2,\qquad q(x) = e^{2x}.
A técnica que vou usar se chama fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y(x). Explico por que isso funciona no próximo passo.

Passo 3

Derivação curta do fator integrante para fixar a intuição: se quisermos que
(\mu y)' = \mu y' + \mu' y
seja exatamente \mu(y' + p y), então precisamos que
\mu' = p\,\mu.
Isso implica que
\frac{\mu'}{\mu} = p(x)\quad\Rightarrow\quad \ln \mu = \int p(x)\,dx,
logo escolhemos
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.

Passo 4

Calcular o fator integrante no nosso caso:
\mu(x)=e^{\int -2\,dx}=e^{-2x}.
(Obs.: uma constante aditiva na integral só multiplica \mu por uma constante; isso não altera a solução final, então usamos a forma mais simples.)

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{-2x}:
e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y = e^{-2x}e^{2x}.
No lado direito e^{-2x}e^{2x}=1. No lado esquerdo reconhecemos uma derivada composta:
e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y = (e^{-2x}y)'.
Portanto a equação vira
(e^{-2x}y)' = 1.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int (e^{-2x}y)'\,dx = \int 1\,dx \quad\Rightarrow\quad e^{-2x}y = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos y multiplicando por e^{2x}:
y = e^{2x}(x + C).

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(0)=2. Substituindo x=0:
2 = e^{0}(0 + C) = C.
Logo C=\!2. Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=e^{2x}(x + 2).

Passo 9

Pequena verificação (pra você confiar no resultado): calcule y' por regra do produto:
y' = \big(e^{2x}(x+2)\big)' = e^{2x}\cdot 2(x+2) + e^{2x}\cdot 1 = e^{2x}(2x+5).
Então
y' - 2y = e^{2x}(2x+5) - 2e^{2x}(x+2) = e^{2x}(2x+5-2x-4)=e^{2x},
que confere com a equação original. Beleza!

Resposta

y(x)=e^{2x}\,(x+2)

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