Nos problemas de 7 a 10, achar a solução do problema de valor inicial proposto.
10-
.
10-
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Vamos transformar a equação numa forma padrão e apresentar a ideia que vou usar (calma, eu explico tim-tim por tim-tim). A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
Aqui, comparando, temos
A técnica que vou usar se chama fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função
de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de
. Explico por que isso funciona no próximo passo.
Passo 3
Derivação curta do fator integrante para fixar a intuição: se quisermos que
seja exatamente
, então precisamos que
Isso implica que
logo escolhemos
Passo 4
Calcular o fator integrante no nosso caso:
(Obs.: uma constante aditiva na integral só multiplica
por uma constante; isso não altera a solução final, então usamos a forma mais simples.)
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
:
No lado direito
. No lado esquerdo reconhecemos uma derivada composta:
Portanto a equação vira
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos
multiplicando por
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
:
Logo
. Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
Passo 9
Pequena verificação (pra você confiar no resultado): calcule
por regra do produto:
Então
que confere com a equação original. Beleza!