Calcule \mathcal{L}\left\{\sin (2 t)+e^{3 t} \cdot \cos (5 t)\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada de Laplace da função f(t)=\sin(2t)+e^{3t}\cos(5t).
Informações dadas:
  • Função a transformar: \sin(2t)+e^{3t}\cos(5t).
  • Queremos \mathcal{L}\{\,\sin(2t)+e^{3t}\cos(5t)\,\}.

Passo 2

Lembrete fundamental (definição e propriedade que vamos usar):
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função g(t) (comportamento razoável),
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}g(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa; a integral converge para valores de \Re(s) suficientemente grandes.
  • Linearidade: para quaisquer constantes a,b,
\mathcal{L}\{a\,g_1(t)+b\,g_2(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{g_1(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{g_2(t)\}(s).
  • Deslocamento no domínio (propriedade do fator exponencial): se \mathcal{L}\{h(t)\}(s)=H(s), então
\mathcal{L}\{e^{at}h(t)\}(s)=H(s-a),
ou seja, basta substituir s por s-a em H(s).
Usaremos essas fórmulas para tratar cada termo separadamente.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{\sin(2t)\}.
Fórmula padrão (que pode ser obtida por integração por partes ou usando a parte imaginária de exponencial complexa) é
\mathcal{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},
válida para \Re(s)>0. Aqui a=2. Logo
\mathcal{L}\{\sin(2t)\}(s)=\frac{2}{s^{2}+4}.
Para quem quiser ver uma justificativa rápida por integração: calcular \int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt, integrar por partes duas vezes leva a uma equação linear para a integral que, ao resolver, fornece \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}. Mas na prova é comum decorar essa fórmula.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{e^{3t}\cos(5t)\}.
Primeiro a transformada de \cos(bt) é a fórmula padrão
\mathcal{L}\{\cos(bt)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+b^{2}},
válida para \Re(s)>0. Aqui b=5, então
\mathcal{L}\{\cos(5t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+25}.
Agora aplicamos a propriedade do deslocamento: como o termo tem e^{3t}\cos(5t), substituímos s por s-3 em \dfrac{s}{s^{2}+25}. Assim
\mathcal{L}\{e^{3t}\cos(5t)\}(s)=\frac{s-3}{(s-3)^{2}+25}.
Observação sobre convergência: a transformada de \cos(5t) exige \Re(s)>0; depois do deslocamento a condição torna-se \Re(s-3)>0, i.e. \Re(s)>3. Portanto esse termo converge para \Re(s)>3.

Passo 5

Usar linearidade para somar as duas transformadas obtidas:
\mathcal{L}\{\sin(2t)+e^{3t}\cos(5t)\}(s) =\mathcal{L}\{\sin(2t)\}(s)+\mathcal{L}\{e^{3t}\cos(5t)\}(s).
Substituindo os resultados:
\mathcal{L}\{\sin(2t)+e^{3t}\cos(5t)\}(s) =\frac{2}{s^{2}+4}+\frac{s-3}{(s-3)^{2}+25}.
Região de convergência: como o segundo termo exige \Re(s)>3 e o primeiro exige \Re(s)>0, a interseção é \Re(s)>3. Portanto a expressão é válida para \Re(s)>3.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{s^{2}+4}+\frac{s-3}{(s-3)^{2}+25}

Exercícios relacionados