Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Função a transformar:
. - Queremos
.
Passo 2
Lembrete fundamental (definição e propriedade que vamos usar):
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
(comportamento razoável),
onde
é uma variável complexa; a integral converge para valores de
suficientemente grandes.
- Linearidade: para quaisquer constantes
,
- Deslocamento no domínio (propriedade do fator exponencial): se
, então
ou seja, basta substituir
por
em
.
Usaremos essas fórmulas para tratar cada termo separadamente.
Passo 3
Calcular
.
Fórmula padrão (que pode ser obtida por integração por partes ou usando a parte imaginária de exponencial complexa) é
válida para
. Aqui
. Logo
Para quem quiser ver uma justificativa rápida por integração: calcular
, integrar por partes duas vezes leva a uma equação linear para a integral que, ao resolver, fornece
. Mas na prova é comum decorar essa fórmula.
Passo 4
Calcular
.
Primeiro a transformada de
é a fórmula padrão
válida para
. Aqui
, então
Agora aplicamos a propriedade do deslocamento: como o termo tem
, substituímos
por
em
. Assim
Observação sobre convergência: a transformada de
exige
; depois do deslocamento a condição torna-se
, i.e.
. Portanto esse termo converge para
.
Passo 5
Usar linearidade para somar as duas transformadas obtidas:
Substituindo os resultados:
Região de convergência: como o segundo termo exige
e o primeiro exige
, a interseção é
. Portanto a expressão é válida para
.