Questão 2)

Um trocador de calor do tipo tubo duplo opera em contracorrente para resfriar água de processo utilizando água de resfriamento proveniente de uma torre. A água de processo escoa pelo tubo interno e a água de resfriamento pelo espaço anular.
Dados geométricos: tubo interno: diâmetro interno D_{i}=22 \mathrm{~mm}, diâmetro externo D_{e}=26 mm ; tubo externo: diâmetro interno D_{\text {ext }, i}=40 \mathrm{~mm}; material do tubo interno é aço carbono ( k_{\text {tubo }}=50 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ); fator de incrustação no lado interno: R_{f, i}^{\prime \prime}=0,0002 m^{2} \mathrm{~K} / \mathrm{W};
Condições de operação: água de processo: vazão mássica \dot{m}_{q}=0,20 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, temperatura de entrada T_{q, \text { ent }}=85^{\circ} \mathrm{C}, temperatura de saída T_{q, \text { sai }}=60^{\circ} \mathrm{C}; água de resfriamento: vazão mássica \dot{m}_{f}=0,25 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, temperatura de entrada T_{\text {f,ent }}=20^{\circ} \mathrm{C}

Determine:

(a) os coeficientes de película no lado da água de processo e no lado da água de resfriamento, utilizando o diâmetro característico apropriado para cada escoamento; (2,0 pts)
(b) o coeficiente global de transferência de calor baseado na área interna do tubo; (2,0 pts)
(c) o comprimento do trocador necessário para atingir as condições de operação especificadas;
(2,0 pts)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
Dados geométricos e materiais (peguei todos estes números do enunciado):
  • Diâmetro interno do tubo interno: D_{i}=0{,}022\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro externo do tubo interno: D_{e}=0{,}026\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro interno do tubo externo (lado anular interno): D_{\text{ext},i}=0{,}040\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do material do tubo interno: k_{\text{tubo}}=50\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Fator de incrustação no lado interno (referido à área interna): R_{f,i}''=0{,}0002\\ \mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
Condições de operação (peguei estes números do enunciado):
  • Água de processo (lado interno): vazão mássica \dot{m}_{q}=0{,}20\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}, T_{q,\mathrm{ent}}=85{\,}^\circ\mathrm{C}, T_{q,\mathrm{sai}}=60{\,}^\circ\mathrm{C}.
  • Água de resfriamento (lado anular): vazão mássica \dot{m}_{f}=0{,}25\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}, T_{f,\mathrm{ent}}=20{\,}^\circ\mathrm{C}. (Temperatura de saída será obtida por balanço de energia.)
O que a questão pede:
(a) Determinar os coeficientes de película (coeficientes convectivos) para o lado da água de processo (fluido no tubo interno) e para o lado da água de resfriamento (espaço anular), usando o diâmetro característico apropriado para cada escoamento.
(b) Calcular o coeficiente global de transferência de calor baseado na área interna do tubo (ou seja, U referenciado à área interna).
(c) Determinar o comprimento L necessário do trocador para obter as temperaturas de entrada/saída dadas.
Observações iniciais que vou usar depois (não resolvo ainda): preciso fazer balanço de energia para achar a potência térmica Q e a temperatura de saída da água de resfriamento; depois calcular velocidades, números de Reynolds e Prandtl (vou adotar propriedades de água nos pontos médios das temperaturas de escoamento); escolher correlações de Nusselt apropriadas (explicarei e justificarei) e então obter h; para U devo somar as resistências térmicas (interna por convecção, incrustação, condução no tubo e convecção externa convertida para base interna); por fim uso LMTD para escoamento contracorrente para achar a área necessária e o comprimento do tubo.

Passo 2

Balanço de energia para determinar a potência térmica Q removida do fluido de processo e a temperatura de saída do fluido de resfriamento.
A energia retirada do fluido quente (processo) é:
Q=\dot{m}_{q}\,c_{p}\,(T_{q,\mathrm{ent}}-T_{q,\mathrm{sai}}).
Vou assumir c_{p} da água constante e igual a c_{p}=4180\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K} (valor prático usual).
Calculando:
Q=0{,}20\cdot 4180\cdot(85-60)=0{,}20\cdot 4180\cdot 25.
Q=0{,}20\cdot 104500=20900\\ \mathrm{W}.
Agora a temperatura de saída da água de resfriamento vem de conservação de energia (aquecimento do fluido frio):
Q=\dot{m}_{f}\,c_{p}\,(T_{f,\mathrm{sai}}-T_{f,\mathrm{ent}}).
Isolando T_{f,\mathrm{sai}}:
T_{f,\mathrm{sai}}=T_{f,\mathrm{ent}}+\frac{Q}{\dot{m}_{f}c_{p}}.
Substituindo:
T_{f,\mathrm{sai}}=20{\,}^\circ\mathrm{C}+\frac{20900}{0{,}25\cdot 4180}.
T_{f,\mathrm{sai}}=20{\,}^\circ\mathrm{C}+\frac{20900}{1045}\approx20{\,}^\circ\mathrm{C}+20{\,}^\circ\mathrm{C}=40{\,}^\circ\mathrm{C}.
Portanto: Q=20900\\ \mathrm{W} e T_{f,\mathrm{sai}}\approx 40{\,}^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Escolha das propriedades termofísicas da água e temperaturas médias (explico por que e como aproximar).
Para calcular números adimensionais usamos propriedades da água à temperatura média (bulk) de cada corrente:
  • Para o fluido no tubo interno (processo): temperatura média \displaystyle T_{b,i}=\frac{85+60}{2}=72{,}5{\,}^\circ\mathrm{C}.
  • Para o fluido no anular (resfriamento): temperatura média \displaystyle T_{b,o}=\frac{20+40}{2}=30{\,}^\circ\mathrm{C}.
Vou usar propriedades aproximadas da água nessas temperaturas (valores típicos, suficientes para estimativa em prova):
  • À \,72{,}5{\,}^\circ\mathrm{C}: densidade \rho_{i}\approx 977\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, viscosidade dinâmica \mu_{i}\approx 4{,}1\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}, condutividade térmica k_{i}\approx 0{,}64\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}, c_{p}\approx 4180\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.
  • À \,30{\,}^\circ\mathrm{C}: densidade \rho_{o}\approx 996\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, viscosidade dinâmica \mu_{o}\approx 8{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}, condutividade térmica k_{o}\approx 0{,}613\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}, c_{p}\approx 4180\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.
(obs.: em prova pode-se justificar que se usam tabelas de propriedades para água e aproximar ao ponto médio)

Passo 4

Cálculo das áreas hidráulicas e velocidades médias em cada corrente (precisa para Reynolds).
Área da seção interna do tubo (área circular com D_{i}):
A_{i}=\frac{\pi D_{i}^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}022)^{2}}{4}.
A_{i}\approx \pi\cdot 0{,}000484/4\approx 3{,}80\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.
Área do espaço anular (área entre círculo de D_{\text{ext},i} e círculo do diâmetro externo do tubo interno D_{e}):
A_{a}=\frac{\pi}{4}\left(D_{\text{ext},i}^{2}-D_{e}^{2}\right)=\frac{\pi}{4}\left(0{,}040^{2}-0{,}026^{2}\right).
Calculando:
A_{a}\approx \frac{\pi}{4}(0{,}001600-0{,}000676)=\frac{\pi}{4}\cdot 0{,}000924\approx 7{,}26\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.
Vazões volumétricas:
\dot{V}_{i}=\frac{\dot{m}_{q}}{\rho_{i}}=\frac{0{,}20}{977}\approx 2{,}047\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s},
\dot{V}_{o}=\frac{\dot{m}_{f}}{\rho_{o}}=\frac{0{,}25}{996}\approx 2{,}510\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Velocidades médias:
v_{i}=\frac{\dot{V}_{i}}{A_{i}}\approx\frac{2{,}047\times10^{-4}}{3{,}80\times10^{-4}}\approx 0{,}538\\ \mathrm{m}/\mathrm{s},
v_{o}=\frac{\dot{V}_{o}}{A_{a}}\approx\frac{2{,}510\times10^{-4}}{7{,}26\times10^{-4}}\approx 0{,}346\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 5

Cálculo dos números de Reynolds e Prandtl (identificar regime de escoamento e escolher correlações).
Diâmetros característicos:
  • Para o escoamento no tubo interno o diâmetro característico é D_{i}=0{,}022\\ \mathrm{m}.
  • Para o escoamento no anular o diâmetro hidráulico é
D_{h}=D_{\text{ext},i}-D_{e}=0{,}040-0{,}026=0{,}014\\ \mathrm{m}.
Números de Reynolds:
\mathrm{Re}_{i}=\frac{\rho_{i}\,v_{i}\,D_{i}}{\mu_{i}}=\frac{977\cdot 0{,}538\cdot 0{,}022}{4{,}1\times10^{-4}}.
Calculando:
\mathrm{Re}_{i}\approx 2{,}82\times 10^{4}.
\mathrm{Re}_{o}=\frac{\rho_{o}\,v_{o}\,D_{h}}{\mu_{o}}=\frac{996\cdot 0{,}346\cdot 0{,}014}{8{,}0\times10^{-4}}.
Calculando:
\mathrm{Re}_{o}\approx 6{,}02\times 10^{3}.
Interpretação: ambos os escoamentos estão em regime turbulento ou em transição-turbulento (valores maiores que 2300; \mathrm{Re}_{i} bem turbulento, \mathrm{Re}_{o} moderadamente turbulento). Vou usar correlações correspondentes a escoamentos turbulentos.
Números de Prandtl:
\mathrm{Pr}_{i}=\frac{c_{p}\mu_{i}}{k_{i}}=\frac{4180\cdot 4{,}1\times10^{-4}}{0{,}64}\approx 2{,}68,
\mathrm{Pr}_{o}=\frac{4180\cdot 8{,}0\times10^{-4}}{0{,}613}\approx 5{,}46.

Passo 6

Escolha das correlações de Nusselt e justificativa (explico assim como se explicaria na prova).
  • Para o escoamento no tubo interno ( \mathrm{Re}_{i}\approx 2{,}8\times10^{4}, \mathrm{Pr}_{i}\approx 2{,}68) a correlação Dittus–Boelter é uma escolha simples e usual em provas quando o escoamento é turbulento e as propriedades não variam fortemente: \displaystyle \mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\mathrm{Pr}^{n}. O expoente n vale 0{,}4 se o fluido está sendo aquecido (paredes mais quentes que o fluido) e 0{,}3 se o fluido está sendo resfriado (paredes mais frias). No nosso caso o fluido no tubo está sendo resfriado, então uso n=0{,}3.
  • Para o espaço anular ( \mathrm{Re}_{o}\approx6{,}0\times10^{3}, \mathrm{Pr}_{o}\approx5{,}46) a correlação de Gnielinski é mais confiável para a faixa 2300<\mathrm{Re}<5\times10^{6} e \mathrm{Pr} razoável:
\mathrm{Nu}=\frac{(f/8)(\mathrm{Re}-1000)\mathrm{Pr}}{1+12{,}7(f/8)^{1/2}(\mathrm{Pr}^{2/3}-1)},
onde f é o fator de atrito (para tubos lisos pode-se usar a aproximação de Petukhov: \displaystyle f=\left(0{,}79\ln\mathrm{Re}-1{,}64\right)^{-2}).
Essas escolhas combinam simplicidade (Dittus) e maior precisão (Gnielinski) onde convém.

Passo 7

Cálculo da Nusselt para o tubo interno (Dittus–Boelter).
Dittus–Boelter:
\mathrm{Nu}_{i}=0{,}023\,\mathrm{Re}_{i}^{0{,}8}\mathrm{Pr}_{i}^{0{,}3}.
Substituindo valores:
\mathrm{Nu}_{i}=0{,}023\cdot(2{,}82\times10^{4})^{0{,}8}\cdot(2{,}68)^{0{,}3}\approx 1{,}12\times10^{2}.
Agora o coeficiente convectivo interno:
h_{i}=\frac{\mathrm{Nu}_{i}\,k_{i}}{D_{i}}=\frac{112{,}15\cdot 0{,}64}{0{,}022}\approx 3{,}26\times10^{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}.

Passo 8

Cálculo da Nusselt para o anular (Gnielinski).
Primeiro estimar f com Petukhov:
f=\left(0{,}79\ln\mathrm{Re}_{o}-1{,}64\right)^{-2}.
Com \mathrm{Re}_{o}\approx 6{,}02\times10^{3} temos \ln\mathrm{Re}_{o}\approx 8{,}70, então
f\approx\left(0{,}79\cdot 8{,}70-1{,}64\right)^{-2}\approx (5{,}24)^{-2}\approx 0{,}0364.
Agora Gnielinski:
\mathrm{Nu}_{o}=\frac{(f/8)(\mathrm{Re}_{o}-1000)\mathrm{Pr}_{o}} {1+12{,}7(f/8)^{1/2}(\mathrm{Pr}_{o}^{2/3}-1)}.
Substituindo os valores dá aproximadamente:
\mathrm{Nu}_{o}\approx 44{,}6.
Logo o coeficiente convectivo externo (anular), usando D_{h}=0{,}014\\ \mathrm{m} e k_{o}=0{,}613\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}:
h_{o}=\frac{\mathrm{Nu}_{o}\,k_{o}}{D_{h}}=\frac{44{,}6\cdot 0{,}613}{0{,}014}\approx 1{,}95\times10^{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}.

Passo 9

Resumo dos coeficientes de película (resultado do item (a)) — já calculados.
  • Coeficiente interno (lado água de processo): h_{i}\approx 3{,}26\times10^{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}.
  • Coeficiente no anular (lado água de resfriamento): h_{o}\approx 1{,}95\times10^{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}.
(Estes são os valores que respondem o item (a).)

Passo 10

Cálculo do coeficiente global de transferência de calor U baseado na área interna do tubo (item (b)). Vou montar a soma de resistências térmicas referidas à área interna.
A resistência térmica total por unidade de área interna é:
\frac{1}{U_{i}}=\frac{1}{h_{i}}+R_{f,i}''+\underbrace{\frac{D_{i}}{2k_{\text{tubo}}}\ln\!\left(\frac{D_{e}}{D_{i}}\right)}_{\text{condução no tubo (referida à área interna)}}+\underbrace{\frac{D_{i}}{D_{\text{ext},i}}\cdot\frac{1}{h_{o}}}_{\text{convecção externa convertida para área interna}}.çãàáçãá
Explicação curta de cada termo:
  • 1/h_{i}: resistência convectiva interna por unidade de área interna.
  • R_{f,i}'': incrustação no lado interno (já dada por unidade de área).
  • termo de condução: transformação da resistência de condução (que originalmente é \ln(D_{e}/D_{i})/(2\pi k L)) para base de área interna resulta no fator \dfrac{D_{i}}{2k}\ln(D_{e}/D_{i}).
  • termo externo convertido: resistência externa 1/(h_{o}\pi D_{\text{ext},i}L) convertida para base interna multiplica por \pi D_{i}L, resultando em \dfrac{D_{i}}{D_{\text{ext},i}}\cdot\dfrac{1}{h_{o}}.
Substituindo números:
\frac{1}{h_{i}}=\frac{1}{3{,}26\times10^{3}}\approx 3{,}07\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W},
R_{f,i}''=2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W},
\frac{D_{i}}{2k_{\text{tubo}}}\ln\!\left(\frac{D_{e}}{D_{i}}\right)=\frac{0{,}022}{2\cdot 50}\ln\!\left(\frac{0{,}026}{0{,}022}\right)\approx 3{,}67\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W},
\frac{D_{i}}{D_{\text{ext},i}}\cdot\frac{1}{h_{o}}=\frac{0{,}022}{0{,}040}\cdot\frac{1}{1{,}95\times10^{3}}\approx 2{,}82\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
Somando as resistências:
\frac{1}{U_{i}}\approx 3{,}07\times10^{-4}+2{,}00\times10^{-4}+3{,}67\times10^{-5}+2{,}82\times10^{-4} \approx 9{,}06\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
Portanto
U_{i}=\frac{1}{9{,}06\times10^{-4}}\approx 1{,}10\times10^{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}.
(Isto responde o item (b).)

Passo 11

Cálculo do comprimento necessário (item (c)) usando LMTD para escoamento contracorrente.
Para contracorrente o calor trocado é:
Q=U_{i}\,A_{i}\,\Delta T_{\mathrm{lm}},
onde A_{i}=\pi D_{i} L é a área interna total e \Delta T_{\mathrm{lm}} é a diferença de temperatura média logarítmica (LMTD) definida por
\Delta T_{\mathrm{lm}}=\frac{\Delta T_{1}-\Delta T_{2}}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_{1}}{\Delta T_{2}}\right)},
com
\Delta T_{1}=T_{q,\mathrm{ent}}-T_{f,\mathrm{sai}},\qquad \Delta T_{2}=T_{q,\mathrm{sai}}-T_{f,\mathrm{ent}}.
Calculando as diferenças:
\Delta T_{1}=85-40=45{\,}^\circ\mathrm{C},\qquad \Delta T_{2}=60-20=40{\,}^\circ\mathrm{C}.
\Delta T_{\mathrm{lm}}=\frac{45-40}{\ln(45/40)}=\frac{5}{\ln(1{,}125)}\approx 42{,}43\\ \mathrm{K}.
Isolando o comprimento L:
L=\frac{Q}{U_{i}\,\Delta T_{\mathrm{lm}}\,\pi D_{i}}.
Substituindo Q=20900\\ \mathrm{W}, U_{i}=1{,}10\times10^{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}, \Delta T_{\mathrm{lm}}=42{,}43\\ \mathrm{K}, D_{i}=0{,}022\\ \mathrm{m}:
L\approx\frac{20900}{1{,}10\times10^{3}\cdot 42{,}43\cdot\pi\cdot 0{,}022}\approx 0{,}639\\ \mathrm{m}.
Portanto o comprimento necessário do trocador é aproximadamente 0{,}64\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) h_{i}\approx 3{,}26\times10^{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K} (tubo interno), \;h_{o}\approx 1{,}95\times10^{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K} (espaço anular).
(b) U_{i}\approx 1{,}10\times10^{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K} (baseada na área interna).
(c) L\approx 0{,}64\\ \mathrm{m}.

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