onde t é a variável de tempo (integrada) e s é a variável complexa/real da transformada; para convergência usualmente assumimos \Re(s)>0. Esta fórmula significa: multiplica-se f(t) por e^{-st} e integra-se de 0 a \infty.
Passo 3
Como f(t)=0 para 0\le t<\pi/2 e f(t)=\cos t para t\ge\pi/2, a integral pela definição vira
Portanto o problema reduz-se a calcular essa integral imprópria.
Passo 4
Uma técnica elegante é usar a função degrau (função unitária deslocada). Definimos u(t-a) como a função que vale 0 para t<a e 1 para t\ge a. Se tivermos uma função escrita como u(t-a)g(t-a), vale a propriedade de deslocamento:
\mathcal{L}\{u(t-a)g(t-a)\}=e^{-as}G(s),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}=\int_0^\infty e^{-st}g(t)\,dt. Prova rápida: substituir t=\tau+a transforma a integral de a a \infty numa integral de 0 a \infty multiplicada por e^{-as}.
Passo 5
Vou reescrever f(t) usando esse deslocamento. Para a=\pi/2 temos f(t)=u(t-\pi/2)\cos t. Escrevo \cos t em termos de t-a:
\cos t=\cos\big((t-a)+a\big)=\cos(t-a)\cos a-\sin(t-a)\sin a.
Tomando a=\dfrac{\pi}{2} e lembrando \cos\frac{\pi}{2}=0 e \sin\frac{\pi}{2}=1, obtemos
\cos t = -\sin(t-\tfrac{\pi}{2}).
Logo
f(t)=u(t-\tfrac{\pi}{2})\cos t = -\,u(t-\tfrac{\pi}{2})\sin\big(t-\tfrac{\pi}{2}\big).
Passo 6
Aplicando a propriedade de deslocamento da transformada de Laplace:
Como verificação rápida: se você quiser, dá para calcular diretamente \int_{\pi/2}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt usando exponencial complexo e chegar ao mesmo resultado — é consistente com o método por deslocamento.