Sabendo que \mathcal{L}^{-1} F(s) G(s)=f * g, calcule
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s(s+1)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s(s+1)}\right\}.
Informações dadas e úteis que temos no enunciado:
  • A igualdade \mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\}=f*g (ou seja, a transformada inversa do produto de duas funções em s é a convolução das correspondentes funções no tempo).
  • A expressão a inverter é \dfrac{1}{s(s+1)}.

Passo 2

Observação inicial (fácil de ver): a função em s pode ser escrita como produto de dois fatores simples:
\frac{1}{s(s+1)}=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s+1}.
Como recebemos a informação sobre a relação inversa-produto ↔ convolução, faz sentido usar essa propriedade: se \mathcal{L}\{f\}=F e \mathcal{L}\{g\}=G, então \mathcal{L}^{-1}\{F\cdot G\}=f*g. Vou usar este método porque se encaixa diretamente na fatoração acima e leva a uma integral de convolução simples.

Passo 3

Precisamos identificar as transformadas inversas dos dois fatores. Usamos as transformadas básicas:
  • A transformada de Laplace de 1 (função constante) é \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}. Portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1\qquad(\text{para }t\ge 0).
  • A transformada de Laplace de e^{-at} é \mathcal{L}\{e^{-at}\}=\dfrac{1}{s+a}. Tomando a=1 obtemos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t}\qquad(\text{para }t\ge 0).
Logo podemos identificar f(t)=1 e g(t)=e^{-t}.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de convolução entre f e g. A convolução é definida por
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Explicando com calma: \tau é a variável de integração (um “tempo de deslocamento”); para cada t fixo somamos as contribuições f(\tau) vezes g(t-\tau) com \tau variando de 0 até t. No contexto de transformadas, essa integral dá a função no tempo cuja transformada é o produto F(s)G(s).

Passo 5

Substituímos f(\tau)=1 e g(t-\tau)=e^{-(t-\tau)} na integral de convolução:
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} 1\cdot e^{-(t-\tau)}\,d\tau=\int_{0}^{t} e^{-(t-\tau)}\,d\tau.
Fatoramos e^{-t} (que não depende de \tau):
(f*g)(t)=e^{-t}\int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau.

Passo 6

Calculamos a integral \int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau. A primitiva de e^{\tau} é e^{\tau}, então
\int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau = e^{t}-e^{0}=e^{t}-1.
Substituindo de volta:
(f*g)(t)=e^{-t}\bigl(e^{t}-1\bigr)=1-e^{-t}.
Portanto a transformada inversa procurada é a função 1-e^{-t} para t\ge 0. (Como verificação alternativa: poderia-se também usar frações parciais \dfrac{1}{s(s+1)}=\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+1}, cuja inversa dá diretamente 1-e^{-t}.)

Resposta

1-e^{-t} ,\, t\ge 0

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