Sabendo que
, calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
.
Informações dadas e úteis que temos no enunciado:
Informações dadas e úteis que temos no enunciado:
- A igualdade
(ou seja, a transformada inversa do produto de duas funções em é a convolução das correspondentes funções no tempo). - A expressão a inverter é
.
Passo 2
Observação inicial (fácil de ver): a função em
pode ser escrita como produto de dois fatores simples:
Como recebemos a informação sobre a relação inversa-produto ↔ convolução, faz sentido usar essa propriedade: se
e
, então
. Vou usar este método porque se encaixa diretamente na fatoração acima e leva a uma integral de convolução simples.
Passo 3
Precisamos identificar as transformadas inversas dos dois fatores. Usamos as transformadas básicas:
- A transformada de Laplace de
(função constante) é . Portanto
- A transformada de Laplace de
é . Tomando obtemos
Logo podemos identificar
e
.
Passo 4
Agora aplicamos a definição de convolução entre
e
. A convolução é definida por
Explicando com calma:
é a variável de integração (um “tempo de deslocamento”); para cada
fixo somamos as contribuições
vezes
com
variando de
até
. No contexto de transformadas, essa integral dá a função no tempo cuja transformada é o produto
.
Passo 5
Substituímos
e
na integral de convolução:
Fatoramos
(que não depende de
):
Passo 6
Calculamos a integral
. A primitiva de
é
, então
Substituindo de volta:
Portanto a transformada inversa procurada é a função
para
. (Como verificação alternativa: poderia-se também usar frações parciais
, cuja inversa dá diretamente
.)