Encontre
ou
como indicado.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas (explícitas): a função no tempo é para
. O objetivo é encontrar
.
Informações dadas (explícitas): a função no tempo é
Passo 2
Definição útil (o que é a transformada de Laplace):
onde
é uma variável complexa e a integral converge para
suficientemente grande. Vamos usar propriedades padrão da transformada em vez de integrar diretamente.
Passo 3
Propriedade de deslocamento exponencial (explicação didática): se
, então
Intuição: multiplicar por
equivale a deslocar a variável
para
na transformada (pode-se verificar trocando
por
na integral).
Passo 4
Transformada básica que vamos usar (ensinar junto): para
vale
Aqui
, então
Passo 5
Aplicando a propriedade do passo 3 para a exponencial
: substituímos
por
na transformada de
. Logo
com região de convergência
.
Passo 6
Propriedade do multiplicador
(muito útil na prova): para uma função
com transformada
,
Justificativa rápida: diferenciar
em relação a
traz um fator
dentro da integral, permitindo trocar derivação e integração sob hipóteses de convergência.
Passo 7
Agora aplicamos essa propriedade com
. Chamando
temos
Passo 8
Calcular a derivada passo a passo. Primeiro escrevo
. Derivando:
Simplificando:
Passo 9
Aplicando o menos do passo 7:
A região de convergência permanece
.