Encontre F(s) ou f(t) como indicado.
\mathcal{L}\left\{t e^{2 t} \operatorname{sen}(6 t)\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função \;t e^{2t}\sin(6t)\;.
Informações dadas (explícitas): a função no tempo é \;f(t)=t e^{2t}\sin(6t)\; para t\ge0. O objetivo é encontrar F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s).

Passo 2

Definição útil (o que é a transformada de Laplace):
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)e^{-st}\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral converge para \Re(s) suficientemente grande. Vamos usar propriedades padrão da transformada em vez de integrar diretamente.

Passo 3

Propriedade de deslocamento exponencial (explicação didática): se G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s-a).
Intuição: multiplicar por e^{at} equivale a deslocar a variável s para s-a na transformada (pode-se verificar trocando s por s-a na integral).

Passo 4

Transformada básica que vamos usar (ensinar junto): para \sin(bt) vale
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{s^{2}+b^{2}},\qquad \Re(s)>0.
Aqui b=6, então
\mathcal{L}\{\sin(6t)\}(s)=\frac{6}{s^{2}+36}.

Passo 5

Aplicando a propriedade do passo 3 para a exponencial e^{2t}: substituímos s por s-2 na transformada de \sin(6t). Logo
\mathcal{L}\{e^{2t}\sin(6t)\}(s)=\frac{6}{(s-2)^{2}+36},
com região de convergência \Re(s)>2.

Passo 6

Propriedade do multiplicador t (muito útil na prova): para uma função g(t) com transformada G(s),
\mathcal{L}\{t\,g(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}G(s).
Justificativa rápida: diferenciar G(s)=\int_{0}^{\infty}g(t)e^{-st}dt em relação a s traz um fator -t dentro da integral, permitindo trocar derivação e integração sob hipóteses de convergência.

Passo 7

Agora aplicamos essa propriedade com g(t)=e^{2t}\sin(6t). Chamando
G(s)=\mathcal{L}\{e^{2t}\sin(6t)\}(s)=\frac{6}{(s-2)^{2}+36},
temos
\mathcal{L}\{t e^{2t}\sin(6t)\}(s)=-\frac{d}{ds}G(s).

Passo 8

Calcular a derivada passo a passo. Primeiro escrevo G(s)=6\big((s-2)^{2}+36\big)^{-1}. Derivando:
G'(s)=6\cdot(-1)\big((s-2)^{2}+36\big)^{-2}\cdot 2(s-2).
Simplificando:
G'(s)=-\frac{12(s-2)}{\big((s-2)^{2}+36\big)^{2}}.

Passo 9

Aplicando o menos do passo 7:
\mathcal{L}\{t e^{2t}\sin(6t)\}(s)=-G'(s)=\frac{12(s-2)}{\big((s-2)^{2}+36\big)^{2}}.
A região de convergência permanece \Re(s)>2.

Resposta

\displaystyle F(s)=\frac{12(s-2)}{\big((s-2)^{2}+36\big)^{2}},\quad \Re(s)>2

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