Calcule:
\mathcal{Z}^{-1}\left\{\frac{z^{2}}{z^{2}+1}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá a função racional em z
\frac{z^{2}}{z^{2}+1}
e pede para calcular a transformada inversa \mathcal{Z}^{-1}\{\cdot\}, ou seja, encontrar a sequência discreta x[n] tal que sua série de potências em z^{-1} seja essa expressão.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a inverter é \dfrac{z^{2}}{z^{2}+1}.
  • Deve-se retornar a sequência x[n] (valores para cada n\in\mathbb{Z} ou, normalmente, para n\ge0 no caso causal).

Passo 2

Lembrete (fórmula e ideia que vou usar).
  • A transformada direta (forma de série de potências) de uma sequência causal x[n] é
X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x[n]\,z^{-n}.
Isso significa que o coeficiente que multiplica z^{-n} na expansão de X(z) é exatamente x[n].
  • Para inverter X(z) normalmente procuramos escrever X(z) como uma série em potências de z^{-1}:
X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\,z^{-n}\quad\Longrightarrow\quad x[n]=a_n.
  • Uma ferramenta útil é a série geométrica: para |w|<1,
\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty} w^{k}.
Também vale a versão com sinal alternado:
\frac{1}{1+v}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}v^{k}\quad\text{se }|v|<1.

Passo 3

Manipular algebricamente a expressão para obter uma série em z^{-1}. Começo escrevendo a função em termos de z^{-2}:
\frac{z^{2}}{z^{2}+1}=\frac{1}{1+z^{-2}}.
Esse passo é só divisão de numerador e denominador por z^{2}.

Passo 4

Expandir usando série geométrica. Defino v=z^{-2}. Para |v|<1, isto é, para |z|>1, vale
\frac{1}{1+z^{-2}}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}z^{-2k}.
Portanto
\frac{z^{2}}{z^{2}+1}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}z^{-2k}.
Observe que nessa soma aparecem somente potências de z^{-n} com n par: n=0,2,4,\dots.

Passo 5

Ler os coeficientes da série para obter x[n]\). - O termo geral da série é \((-1)^{k}z^{-2k}\). Ele corresponde a \(n=2k\) e coeficiente \(x[2k]=(-1)^{k}\). - Para índices ímpares não há termo, logo \(x[n]=0\) quando \(n\) é ímpar. Assim, para \(n\ge0\), \[x[n]=\begin{cases} (-1)^{n/2},&\text{se }n\text{ é par},\\[4pt] 0,&\text{se }n\text{ é ímpar}. \end{cases}
Exemplos de termos iniciais: x[0]=1\], \(x[1]=0, x[2]=-1, x[3]=0, x[4]=1, e assim por diante, repetindo o padrão 1,0,-1,0,1,0,\dots.]

Passo 6

Observação sobre região de convergência (ROC): a expansão usada exige |z^{-2}|<1, ou seja |z|>1. Portanto o resultado acima é a sequência causal (direita) com ROC |z|>1. Para outras ROCs (por exemplo |z|<1) a expansão em potências de z levaria a uma sequência bilateral diferente; aqui adotamos o caso causal mais comum.

Resposta

x[n]=\begin{cases} (-1)^{n/2},& n\text{ par},\; n\ge0,\\[4pt] 0,& n\text{ ímpar}. \end{cases}í]

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