Calcule:
.
Passo 1
O enunciado dá a função racional em
e pede para calcular a transformada inversa
, ou seja, encontrar a sequência discreta
tal que sua série de potências em
seja essa expressão.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função a inverter é
. - Deve-se retornar a sequência
(valores para cada ou, normalmente, para no caso causal).
Passo 2
Lembrete (fórmula e ideia que vou usar).
- A transformada direta (forma de série de potências) de uma sequência causal
é
Isso significa que o coeficiente que multiplica
na expansão de
é exatamente
.
- Para inverter
normalmente procuramos escrever como uma série em potências de :
- Uma ferramenta útil é a série geométrica: para
,
Também vale a versão com sinal alternado:
Passo 3
Manipular algebricamente a expressão para obter uma série em
. Começo escrevendo a função em termos de
:
Esse passo é só divisão de numerador e denominador por
.
Passo 4
Expandir usando série geométrica. Defino
. Para
, isto é, para
, vale
Portanto
Observe que nessa soma aparecem somente potências de
com
par:
.
Passo 5
Ler os coeficientes da série para obter
Exemplos de termos iniciais:
,
,
,
, e assim por diante, repetindo o padrão
.]
Passo 6
Observação sobre região de convergência (ROC): a expansão usada exige
, ou seja
. Portanto o resultado acima é a sequência causal (direita) com ROC
. Para outras ROCs (por exemplo
) a expansão em potências de
levaria a uma sequência bilateral diferente; aqui adotamos o caso causal mais comum.