Calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Z da função racional abaixo, ou seja, encontrar a sequência temporal
tal que a transformada de Z de
seja essa função:
Informações dadas explícitas:
- A função a ser invertida é
. - Não há figura nem indicação explícita de região de convergência; a operação pedida é apenas a inversa da transformada de Z.
Passo 2
Relembrando o que usaremos (aqui explico as fórmulas e propriedades de forma didática):
- A transformada de Z unilateral (causal) de uma sequência
é
- Uma relação padrão muito útil é
válida para
. Aqui
é a função degrau discreta (ou seja,
para
).
- A propriedade de deslocamento em
(atraso) na transformada: se , então
assumindo
para
. Em particular, multiplicar por
corresponde a atrasar a sequência em uma unidade (com
).
- Usando essas duas observações, nota-se que
Isto é:
corresponde à sequência
iniciando em
(no instante
vale zero).
Vou aplicar essas fórmulas para obter a inversa da expressão dada.
Passo 3
Como o numerador e o denominador têm o mesmo grau (grau 2), é prático fazer primeiro uma divisão polinomial (ou identificar a parte polinomial) para separar uma parte polinomial (que vira deltas) e uma parte fracionária que será decomposta em frações parciais. Faço a divisão:
Dividindo
por
obtemos quociente
e resto
, pois
Portanto
Passo 4
Agora decomponho a fração própria
Multiplicando em ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Agrupando coeficientes:
Comparando coeficientes de
e termo independente:
Resolvo o sistema: da primeira equação (A=3-B]. Substituindo na segunda:
logo
Então
Portanto a decomposição é
]
logo
Então
Portanto a decomposição é
Passo 5
Reuni tudo:
Agora aplico a transformada inversa termo a termo, usando as fórmulas lembradas no Passo 2:
-
na variável é a transformada de , pois . -
corresponde a . -
corresponde a .
Multiplicando pelos coeficientes, temos as sequências correspondentes.
Passo 6
Escrevendo a sequência
obtida pela soma das inversas de cada termo:
Para dar uma forma prática para uso em prova, podemos escrever de modo explícito para
e
:
- Para
: (os termos com são zero em ). - Para
: então