Calcule:
\mathcal{Z}^{-1}\left\{\frac{z^{2}+2 z}{(z+3)(z-4)}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Z da função racional abaixo, ou seja, encontrar a sequência temporal x[n] tal que a transformada de Z de x[n] seja essa função:
\mathcal{Z}^{-1}\!\left\{\frac{z^{2}+2 z}{(z+3)(z-4)}\right\}.
Informações dadas explícitas:
  • A função a ser invertida é \dfrac{z^{2}+2 z}{(z+3)(z-4)}.
  • Não há figura nem indicação explícita de região de convergência; a operação pedida é apenas a inversa da transformada de Z.

Passo 2

Relembrando o que usaremos (aqui explico as fórmulas e propriedades de forma didática):
  • A transformada de Z unilateral (causal) de uma sequência x[n] é
X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x[n]\,z^{-n}.
  • Uma relação padrão muito útil é
\mathcal{Z}\{a^{n}u[n]\}=\sum_{n=0}^\infty a^{n}z^{-n}=\frac{1}{1-a z^{-1}}=\frac{z}{z-a},
válida para |z|>|a|. Aqui u[n] é a função degrau discreta (ou seja, u[n]=1 para n\ge0).
  • A propriedade de deslocamento em n (atraso) na transformada: se X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}, então
\mathcal{Z}\{x[n-1]\}=z^{-1}X(z),
assumindo x[n]=0 para n<0. Em particular, multiplicar por z^{-1} corresponde a atrasar a sequência em uma unidade (com x[-1]=0).
  • Usando essas duas observações, nota-se que
\frac{1}{z-a} = z^{-1}\cdot\frac{z}{z-a} \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{Z}^{-1}\!\left\{\frac{1}{z-a}\right\}=a^{\,n-1}u[n-1].
Isto é: 1/(z-a) corresponde à sequência a^{n-1} iniciando em n=1 (no instante n=0 vale zero).
Vou aplicar essas fórmulas para obter a inversa da expressão dada.

Passo 3

Como o numerador e o denominador têm o mesmo grau (grau 2), é prático fazer primeiro uma divisão polinomial (ou identificar a parte polinomial) para separar uma parte polinomial (que vira deltas) e uma parte fracionária que será decomposta em frações parciais. Faço a divisão:
\frac{z^{2}+2z}{(z+3)(z-4)}=\frac{z^{2}+2z}{z^{2}-z-12}.
Dividindo z^{2}+2z por z^{2}-z-12 obtemos quociente 1 e resto 3z+12, pois
z^{2}+2z = 1\cdot(z^{2}-z-12) + (3z+12).
Portanto
\frac{z^{2}+2z}{(z+3)(z-4)} = 1 + \frac{3z+12}{(z-4)(z+3)}.

Passo 4

Agora decomponho a fração própria \dfrac{3z+12}{(z-4)(z+3)}\) em frações parciais: assumo \[\frac{3z+12}{(z-4)(z+3)}=\frac{A}{z-4}+\frac{B}{z+3}.
Multiplicando em ambos os lados por (z-4)(z+3) obtemos a identidade polinomial
3z+12 = A(z+3)+B(z-4).
Agrupando coeficientes:
3z+12 = (A+B)z + (3A-4B).
Comparando coeficientes de z e termo independente:
\begin{cases} A+B = 3,\\[4pt] 3A - 4B = 12. \end{cases}
Resolvo o sistema: da primeira equação (A=3-B]. Substituindo na segunda:
3(3-B)-4B=12 \quad\Rightarrow\quad 9-3B-4B=12 \quad\Rightarrow\quad -7B=3,
logo
B=-\frac{3}{7}.
Então
A = 3 - B = 3 + \frac{3}{7} = \frac{24}{7}.
Portanto a decomposição é
\frac{3z+12}{(z-4)(z+3)}=\frac{24/7}{z-4}-\frac{3/7}{z+3}.]

Passo 5

Reuni tudo:
\frac{z^{2}+2z}{(z+3)(z-4)} = 1 + \frac{24}{7}\cdot\frac{1}{z-4} - \frac{3}{7}\cdot\frac{1}{z+3}.
Agora aplico a transformada inversa termo a termo, usando as fórmulas lembradas no Passo 2:
  • 1 na variável z é a transformada de \delta[n], pois \mathcal{Z}\{\delta[n]\}=1.
  • \dfrac{1}{z-4} corresponde a 4^{\,n-1}u[n-1].
  • \dfrac{1}{z+3}=\dfrac{1}{z-(-3)} corresponde a (-3)^{\,n-1}u[n-1].
Multiplicando pelos coeficientes, temos as sequências correspondentes.

Passo 6

Escrevendo a sequência x[n] obtida pela soma das inversas de cada termo:
x[n]=\delta[n] + \frac{24}{7}\,4^{\,n-1}u[n-1] - \frac{3}{7}\,(-3)^{\,n-1}u[n-1].
Para dar uma forma prática para uso em prova, podemos escrever de modo explícito para n=0 e n\ge1:
  • Para n=0: x[0]=\delta[0]=1 (os termos com u[n-1] são zero em n=0).
  • Para n\ge1: u[n-1]=1 então
x[n]=\frac{24}{7}\,4^{\,n-1} - \frac{3}{7}\,(-3)^{\,n-1},\qquad n\ge1.

Resposta

x[n]=\delta[n]+\dfrac{24}{7}\,4^{\,n-1}u[n-1]-\dfrac{3}{7}\,(-3)^{\,n-1}u[n-1]
x[0]=1
x[n]=\dfrac{24}{7}\,4^{\,n-1}-\dfrac{3}{7}\,(-3)^{\,n-1} para n\ge1

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