Calcule:
.
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado\n
- Pedido: calcular a transformada inversa de Z, ou seja encontrar
.\n - Informação dada: a função no domínio
é
- Vou assumir a solução causal (sequência iniciando em
), que é o caso mais comum em exercícios deste tipo. A resolução abaixo vai determinar para e mostrar que para .
Passo 2
Reescrever
em potências de
para facilitar a interpretação como série em
\n
Divido numerador e denominador por :
Divido numerador e denominador por
Essa forma é útil porque a transformada Z de uma sequência causal é uma série em potências de
:
Passo 3
Obter condições iniciais igualando coeficientes (procedimento direto e muito usado em provas)\n
Multiplico a expressão da série pela expressão do denominador:
Multiplico a expressão da série pela expressão do denominador:
Expandindo os termos e alinhando potências de
dá, para o termo de potência
:
- Do primeiro somatório (termo
) contribui . - Os outros dois somatórios não contribuem para
porque teriam índices negativos.
Assim
Agora olhamos o coeficiente de
:
- Do primeiro somatório vem
. - Do segundo somatório (com sinal negativo) vem
. - O terceiro somatório não contribui.
Portanto
Passo 4
Obter a recorrência para
\n
Para coeficientes de com
obtemos a relação
Para coeficientes de
Isso vem diretamente da multiplicação do polinômio
pela série.
Passo 5
Resolver a recorrência homogênea (a técnica padrão)\n
Escrevo a equação característica associada à recorrência:
Escrevo a equação característica associada à recorrência:
Calculo as raízes pela fórmula quadrática:
Essas raízes podem ser reconhecidas como números complexos na forma exponencial:
Logo a solução geral (real) da recorrência é da forma
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
Passo 6
Determinar
e
usando
e
\n
Para :
Para
Para
:
Substituindo
obtemos
Portanto
Passo 7
Escrever a solução final e dar formas alternativas mais compactas\n
Com e
obtemos, para
,
Com
Uma forma equivalente com amplitude e fase é
E, lembrando a causalidade assumida,
Como verificação rápida, os primeiros termos (mostrando periodicidade 6) são