Calcule:
\mathcal{Z}^{-1}\left\{\frac{z^{2}}{z^{2}-z+1}\right\}.

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado\n
  • Pedido: calcular a transformada inversa de Z, ou seja encontrar x[n]=\mathcal{Z}^{-1}\!\left\{\dfrac{z^{2}}{z^{2}-z+1}\right\}.\n
  • Informação dada: a função no domínio z é
X(z)=\frac{z^{2}}{z^{2}-z+1}.
  • Vou assumir a solução causal (sequência iniciando em n=0), que é o caso mais comum em exercícios deste tipo. A resolução abaixo vai determinar x[n] para n\ge 0 e mostrar que x[n]=0 para n<0.

Passo 2

Reescrever X(z) em potências de z^{-1} para facilitar a interpretação como série em z^{-1}\n
Divido numerador e denominador por z^{2}:
X(z)=\frac{z^{2}}{z^{2}-z+1}=\frac{1}{1 - z^{-1} + z^{-2}}.
Essa forma é útil porque a transformada Z de uma sequência causal é uma série em potências de z^{-1}:
X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x[n]\,z^{-n}.

Passo 3

Obter condições iniciais igualando coeficientes (procedimento direto e muito usado em provas)\n
Multiplico a expressão da série pela expressão do denominador:
(1 - z^{-1} + z^{-2})\sum_{n=0}^{\infty} x[n]\,z^{-n}=1.
Expandindo os termos e alinhando potências de z^{-k} dá, para o termo de potência z^{0}:
  • Do primeiro somatório (termo 1) contribui x[0].
  • Os outros dois somatórios não contribuem para z^{0} porque teriam índices negativos.
    Assim
x[0]=1.
Agora olhamos o coeficiente de z^{-1}:
  • Do primeiro somatório vem x[1].
  • Do segundo somatório (com sinal negativo) vem -x[0].
  • O terceiro somatório não contribui.
    Portanto
x[1]-x[0]=0 \quad\Rightarrow\quad x[1]=x[0]=1.

Passo 4

Obter a recorrência para n\ge 2\n
Para coeficientes de z^{-n} com n\ge 2 obtemos a relação
x[n] - x[n-1] + x[n-2]=0,\qquad n\ge 2.
Isso vem diretamente da multiplicação do polinômio 1 - z^{-1} + z^{-2} pela série.

Passo 5

Resolver a recorrência homogênea (a técnica padrão)\n
Escrevo a equação característica associada à recorrência:
r^{2}-r+1=0.
Calculo as raízes pela fórmula quadrática:
r=\frac{1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{1\pm j\sqrt{3}}{2}.
Essas raízes podem ser reconhecidas como números complexos na forma exponencial:
r_{1}=e^{j\pi/3},\qquad r_{2}=e^{-j\pi/3}.
Logo a solução geral (real) da recorrência é da forma
x[n]=A\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right)+B\sin\!\left(\frac{n\pi}{3}\right),
onde A e B são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.

Passo 6

Determinar A e B usando x[0]=1 e x[1]=1\n
Para n=0:
x[0]=A\cos 0 + B\sin 0 = A\cdot 1 + B\cdot 0 = A = 1.
Para n=1:
x[1]=A\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)+B\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = A\cdot\frac{1}{2}+B\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=1.
Substituindo A=1 obtemos
\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\,B = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{\sqrt{3}}{2}\,B=\frac{1}{2}.
Portanto
B=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 7

Escrever a solução final e dar formas alternativas mais compactas\n
Com A=1 e B=\dfrac{1}{\sqrt{3}} obtemos, para n\ge 0,
x[n]=\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right) + \frac{1}{\sqrt{3}}\sin\!\left(\frac{n\pi}{3}\right).
Uma forma equivalente com amplitude e fase é
x[n]=\frac{2}{\sqrt{3}}\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right),\qquad n\ge 0.
E, lembrando a causalidade assumida,
x[n]=0\quad\text{para }n<0.
Como verificação rápida, os primeiros termos (mostrando periodicidade 6) são
x[0]=1,\; x[1]=1,\; x[2]=0,\; x[3]=-1,\; x[4]=-1,\; x[5]=0,\; x[6]=1,\;\dots

Resposta

x[n]=\cos\!\left(\dfrac{n\pi}{3}\right)+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{3}\right),\quad n\ge 0.\n
x[n]=0,\quad n<0.

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