Calcule:
\mathcal{Z}^{-1}\left\{\frac{6 z^{2}-10 z+2}{z^{2}-3 z+2}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Z da função racional
\frac{6 z^{2}-10 z+2}{z^{2}-3 z+2}.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • Numerador: \;6 z^{2}-10 z+2.
  • Denominador: \;z^{2}-3 z+2.
  • O grau do numerador é igual ao grau do denominador (ambos 2).
  • O denominador fatora como (z-1)(z-2), então há polos em z=1 e z=2.
  • A tarefa é encontrar a sequência temporal x[n] tal que \mathcal{Z}\{x[n]\} = \dfrac{6 z^{2}-10 z+2}{z^{2}-3 z+2}.

Passo 2

Como o grau do numerador é igual ao do denominador, primeiro fazemos divisão polinomial para separar a parte polinomial (quociente) da parte própria (resto sobre o denominador). Isso facilita a inversão, porque uma constante em z corresponde a um impulso no tempo.
Realizando a divisão:
\frac{6 z^{2}-10 z+2}{z^{2}-3 z+2} = 6 + \frac{8 z - 10}{z^{2}-3 z+2}.
Explicando as contas da divisão:
  • O termo líder: \dfrac{6 z^{2}}{z^{2}} = 6.
  • Multiplica-se o denominador por 6: 6(z^{2}-3z+2)=6z^{2}-18z+12.
  • Subtrai-se: (6z^{2}-10z+2)-(6z^{2}-18z+12) = 8z -10, que é o resto.
    Logo a escrita acima está correta.

Passo 3

Agora decompomos a fração própria \dfrac{8 z - 10}{(z-1)(z-2)}\) em frações simples: Procuramos \(A\) e \(B\) tais que \[\frac{8 z - 10}{(z-1)(z-2)}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z-2}.
Multiplicando ambos os lados por (z-1)(z-2):
8z-10 = A(z-2)+B(z-1) = (A+B)z + (-2A - B).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A+B = 8,\\[4pt] -2A - B = -10. \end{cases}
Somando 2\] vezes a primeira equação com a segunda ou resolvendo diretamente: da primeira \(B=8-A. Substituindo na segunda:
-2A - (8-A) = -10 \;\Rightarrow\; -2A -8 + A = -10 \;\Rightarrow\; -A = -2 \;\Rightarrow\; A=2.
Então B=8-A=6. Portanto
\frac{8 z - 10}{(z-1)(z-2)}=\frac{2}{z-1}+\frac{6}{z-2}.
Assim a expressão total fica
\frac{6 z^{2}-10 z+2}{z^{2}-3 z+2}=6+\frac{2}{z-1}+\frac{6}{z-2}.]

Passo 4

Agora vamos usar pares padrão de transformada de Z e a propriedade de deslocamento no tempo.
Lembretes importantes (e por que funcionam):
  • A série geométrica dá a transformada de uma exponencial causal: \sum_{n=0}^{\infty} a^{n} z^{-n} = \frac{1}{1-a z^{-1}},daí, reescrevendo em termos de z, \mathcal{Z}\{a^{n}u[n]\} = \frac{z}{z-a},válida para |z|>|a|. Aqui u[n] é o degrau unitário: u[n]=1 para n\ge0 e 0 para n<0.
  • Multiplicar por z^{-1} no domínio z corresponde a atrasar a sequência em uma amostra no tempo (shift à direita): para sequências causais (zero para n<0), \mathcal{Z}\{x[n-1]\} = z^{-1}X(z).Em particular, se \mathcal{Z}\{a^{n}u[n]\}=\dfrac{z}{z-a}, então \mathcal{Z}\{a^{n-1}u[n-1]\} = z^{-1}\cdot\frac{z}{z-a} = \frac{1}{z-a}.
  • A transformada do impulso é \mathcal{Z}\{\delta[n]\}=1. Assim uma constante no domínio z corresponde a um impulso no tempo.
Aplicando essas regras às parcelas obtidas:
  • O termo constante 6 corresponde a 6\delta[n].
  • Para \dfrac{2}{z-1}: escrevemos \dfrac{2}{z-1}=2\cdot \dfrac{1}{z-1}=2\cdot z^{-1}\cdot\frac{z}{z-1}. Como \frac{z}{z-1} é \mathcal{Z}\{1^{n}u[n]\}=\mathcal{Z}\{u[n]\}, multiplicar por z^{-1} atrasa em uma unidade. Portanto \mathcal{Z}^{-1}\left\{\frac{2}{z-1}\right\}=2\;u[n-1].
  • Para \dfrac{6}{z-2}: semelhantemente \dfrac{6}{z-2}=6\;z^{-1}\cdot\frac{z}{z-2}. Como \frac{z}{z-2}=\mathcal{Z}\{2^{n}u[n]\}, o fator z^{-1} gera a sequência atrasada 2^{n-1}u[n-1]. Logo \mathcal{Z}^{-1}\left\{\frac{6}{z-2}\right\}=6\cdot 2^{\,n-1}u[n-1].
Juntando todas as parcelas:
x[n]=6\delta[n] + 2\,u[n-1] + 6\cdot 2^{\,n-1}u[n-1].
Podemos escrever explicitamente por casos (mais claro para a prova):
  • Para n<0: x[n]=0 (sequência causal).
  • Para n=0: \;x[0]=6 (porque \delta[0]=1 e os u[n-1] são zero em n=0).
  • Para n\ge 1: \;x[n]=2 + 6\cdot 2^{\,n-1}. Observação: 6\delta[n] é zero para n\ge1.
Opcional — cheque rápido (consistência): aplicando a transformada de Z termo a termo retorna exatamente \;6+\dfrac{2}{z-1}+\dfrac{6}{z-2}, que era nossa expressão obtida por decomposição, então a inversa está correta.

Resposta

x[n]=0,\;n<0
x[0]=6
x[n]=2+6\cdot 2^{\,n-1},\;n\ge 1

Exercícios relacionados