Calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Z da função racional
Informações fornecidas e observações imediatas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - O grau do numerador é igual ao grau do denominador (ambos 2).
- O denominador fatora como
, então há polos em e . - A tarefa é encontrar a sequência temporal
tal que .
Passo 2
Como o grau do numerador é igual ao do denominador, primeiro fazemos divisão polinomial para separar a parte polinomial (quociente) da parte própria (resto sobre o denominador). Isso facilita a inversão, porque uma constante em
corresponde a um impulso no tempo.
Realizando a divisão:
Explicando as contas da divisão:
- O termo líder:
. - Multiplica-se o denominador por
: . - Subtrai-se:
, que é o resto.
Logo a escrita acima está correta.
Passo 3
Agora decompomos a fração própria
Multiplicando ambos os lados por
:
Comparando coeficientes:
Somando
. Substituindo na segunda:
Então
. Portanto
Assim a expressão total fica
Passo 4
Agora vamos usar pares padrão de transformada de Z e a propriedade de deslocamento no tempo.
Lembretes importantes (e por que funcionam):
- A série geométrica dá a transformada de uma exponencial causal:
daí, reescrevendo em termos de , válida para . Aqui é o degrau unitário: para e para . - Multiplicar por
no domínio corresponde a atrasar a sequência em uma amostra no tempo (shift à direita): para sequências causais (zero para ), Em particular, se , então - A transformada do impulso é
. Assim uma constante no domínio corresponde a um impulso no tempo.
Aplicando essas regras às parcelas obtidas:
- O termo constante
corresponde a . - Para
: escrevemos . Como é , multiplicar por atrasa em uma unidade. Portanto - Para
: semelhantemente . Como , o fator gera a sequência atrasada . Logo
Juntando todas as parcelas:
Podemos escrever explicitamente por casos (mais claro para a prova):
- Para
: (sequência causal). - Para
: (porque e os são zero em ). - Para
: . Observação: é zero para .
Opcional — cheque rápido (consistência): aplicando a transformada de Z termo a termo retorna exatamente
, que era nossa expressão obtida por decomposição, então a inversa está correta.