uestão 2 ( 3,0 pontos) - Para uma reação em fase gasosa realizada a 127^{\circ} \mathrm{C}, a locidade de reaçãoestá dad por:
\begin{gathered} \frac{-d P a}{d t}=3,66 P_{a}^{2} \quad(\mathrm{~atm} / \mathrm{h}) \\\ \mathrm{A}(\mathrm{~g}) \rightarrow \mathrm{B}(\mathrm{~g}) \end{gathered}
Quais são as unidades da constante de velocidade?
Qual será o valor da constante de velocidade k se a equação for expressa em termos concentração molar?

Passo 1

O enunciado dá a lei de velocidade em termos de pressão para a reação gasosa \mathrm{A(g)} \to \mathrm{B(g)} a 127^\circ\mathrm{C}:
-\frac{dP_a}{dt}=3,66\,P_a^{2}\quad(\mathrm{atm}/\mathrm{h})
As perguntas são:
  • Quais são as unidades da constante de velocidade k nessa forma (usando pressão)?
  • Qual será o valor da constante de velocidade k se a mesma equação for expressa em termos de concentração molar c_a (por exemplo em \mathrm{mol\;L^{-1}})?
Informações importantes que temos e vamos usar:
  • A constante dada na lei de pressão é k_p=3,66 (valor numérico associado à dependência quadrática em P_a).
  • Temperatura: 127^\circ\mathrm{C}, que será necessária para converter pressão ↔ concentração via a equação dos gases ideais.
  • Usaremos a constante dos gases R na forma compatível com pressão em atm e volume em litro: R=0,082057\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}\;K^{-1}}.

Passo 2

Determinar as unidades de k na forma dada em pressão por análise dimensional.
A equação é
\text{[taxa]} = k_p\,[P]^2.
A unidade da taxa é \mathrm{atm}\,\mathrm{h}^{-1} (pois -dP_a/dt veio em \mathrm{atm}/\mathrm{h}), e a unidade de P é \mathrm{atm}. Logo, as unidades de k_p satisfazem
[k_p]=\frac{\mathrm{atm}\,\mathrm{h}^{-1}}{(\mathrm{atm})^{2}}=\mathrm{atm}^{-1}\,\mathrm{h}^{-1}.
Portanto k_p tem unidades \mathrm{atm}^{-1}\,\mathrm{h}^{-1}.

Passo 3

Relacionar pressão e concentração usando a equação dos gases ideais e preparar a conversão.
Para um gás ideal:
P = c\,R\,T,
onde
  • P é a pressão em \mathrm{atm},
  • c é a concentração molar em \mathrm{mol\;L^{-1}},
  • R é a constante dos gases em \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}\;K^{-1}},
  • T é a temperatura em \mathrm{K}.
Converter a temperatura dada:
T = 127^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 400{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Derivar a forma da lei de velocidade em função de c_a e obter k_c em termos de k_p.
Começamos substituindo P = R T c na lei original:
-\frac{dP}{dt}=k_p P^{2} \quad\Rightarrow\quad -\frac{d(RT c)}{dt}=k_p (RT c)^{2}.
Como R e T são constantes na condição experimental:
-RT\frac{dc}{dt}=k_p R^{2}T^{2} c^{2}.
Dividindo ambos os lados por RT obtemos
-\frac{dc}{dt}=k_p R T\, c^{2}.
Portanto a constante de velocidade na forma molar k_c (para a equação -dc/dt = k_c c^{2}) é
k_c = k_p\,R\,T.
Também checamos as unidades: [k_p]=\mathrm{atm}^{-1}\mathrm{h}^{-1}, [R]=\mathrm{L\;atm\;mol^{-1}\;K^{-1}}, [T]=\mathrm{K}. Multiplicando:
[k_c]=\mathrm{atm}^{-1}\mathrm{h}^{-1}\times\mathrm{L\;atm\;mol^{-1}\;K^{-1}}\times\mathrm{K}=\mathrm{L\;mol^{-1}\;h^{-1}},
que é a unidade correta para uma reação de segunda ordem em concentração.

Passo 5

Calcular numericamente k_c.
Usando k_p=3,66, R=0,082057\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}\;K^{-1}} e T=400{,}15\\ \mathrm{K}:
R\,T = 0{,}082057\times 400{,}15 \approx 32{,}835\\ (\mathrm{L\;atm\;mol^{-1}}).
Agora
k_c = 3{,}66 \times 32{,}835 \approx 120{,}2\\ (\mathrm{L\;mol^{-1}\;h^{-1}}).
(Arredondado razoavelmente para três algarismos significativos.)

Resposta

\mathrm{Unidades\\ de\\ }k\text{ (pressão): }\mathrm{atm^{-1}\;h^{-1}}ã
\;k\text{ (concentração): }k_c=120{,}2\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;h^{-1}}çã

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