Calcule:
.
Passo 1
O problema pede para calcular a transformada inversa de Z da função racional dada. Em palavras: encontrar a sequência discreta
tal que
Informações fornecidas: a função no domínio de
é
. Não há figura nem outra informação extra.
Passo 2
Plano de ataque (sem ainda resolver): vou escrever a função como razão com polos explícitos, decompor em termos que correspondam a pares conhecidos da transformada de Z e então usar a tabela/inversão. Para isso preciso do par básico (que eu já te ensino): a transformada unilateral (causal) da sequência
é
Logo termos do tipo
no domínio correspondem a
no tempo. Então vou decompor
em somas de constantes multiplicando
. Este é o método mais direto e elementar aqui.
Passo 3
Vou encontrar os polos (raízes do denominador). Resolver
Use a fórmula quadrática:
Como
, obtemos
Observação útil: esses polos têm módulo
e ângulos
. Podemos escrevê-los também como
Passo 4
Faço a decomposição procurando constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
(válido para expansão em séries causais,
), obtemos a identidade polinomial
Isto deve valer para todo
, então igualamos coeficientes em
:
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Calcule
. Então
Como
, fica
E
.
Passo 5
Agora aplico a inversa: cada termo
corresponde a
. Portanto a sequência causal
(para
) é
Substituindo
e
:
Passo 6
Transformo essa expressão complexa em forma real usando a forma polar dos polos. Como
e
, temos
Substituindo em
:
Use a identidade de Euler
. Assim,
Como
(porque
), isto simplifica para
Por completude escrevemos multiplicando pela função degrau unitário
: