Calcule:
\mathcal{Z}^{-1}\left\{\frac{z}{z^{2}-2 z+4}\right\}.

Passo 1

O problema pede para calcular a transformada inversa de Z da função racional dada. Em palavras: encontrar a sequência discreta x[n] tal que
\mathcal{Z}\{x[n]\}=\frac{z}{z^{2}-2z+4}.
Informações fornecidas: a função no domínio de z é \dfrac{z}{z^{2}-2z+4}. Não há figura nem outra informação extra.

Passo 2

Plano de ataque (sem ainda resolver): vou escrever a função como razão com polos explícitos, decompor em termos que correspondam a pares conhecidos da transformada de Z e então usar a tabela/inversão. Para isso preciso do par básico (que eu já te ensino): a transformada unilateral (causal) da sequência \{a^{n}u[n]\} é
\mathcal{Z}\{a^{n}u[n]\}=\frac{z}{z-a},\qquad \text{ROC: }|z|>|a|.
Logo termos do tipo \dfrac{z}{z-p} no domínio correspondem a p^{n}u[n] no tempo. Então vou decompor \dfrac{z}{(z-p_1)(z-p_2)} em somas de constantes multiplicando \dfrac{z}{z-p_i}. Este é o método mais direto e elementar aqui.

Passo 3

Vou encontrar os polos (raízes do denominador). Resolver
z^{2}-2z+4=0.
Use a fórmula quadrática:
z=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot4}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4-16}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-12}}{2}.
Como \sqrt{-12}=2\mathrm{j}\sqrt{3}, obtemos
p_{1}=1+\mathrm{j}\sqrt{3},\qquad p_{2}=1-\mathrm{j}\sqrt{3}.
Observação útil: esses polos têm módulo |p_{1}|=|p_{2}|=2 e ângulos \pm\pi/3. Podemos escrevê-los também como
p_{1}=2e^{\mathrm{j}\pi/3},\qquad p_{2}=2e^{-\mathrm{j}\pi/3}.

Passo 4

Faço a decomposição procurando constantes A e B tais que
\frac{z}{(z-p_{1})(z-p_{2})}=\frac{A\,z}{z-p_{1}}+\frac{B\,z}{z-p_{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (z-p_{1})(z-p_{2}) e dividindo por z (válido para expansão em séries causais, z\neq0), obtemos a identidade polinomial
1=A(z-p_{2})+B(z-p_{1}).
Isto deve valer para todo z, então igualamos coeficientes em z:
\text{coeficiente de }z:\quad A+B=0,
\text{constante:}\quad -(A p_{2}+B p_{1})=1\quad\Rightarrow\quad A p_{2}+B p_{1}=-1.
Da primeira equação B=-A. Substituindo na segunda:
A p_{2}-A p_{1}=-1 \quad\Rightarrow\quad A(p_{2}-p_{1})=-1.
Calcule p_{2}-p_{1}=(1-\mathrm{j}\sqrt{3})-(1+\mathrm{j}\sqrt{3})=-2\mathrm{j}\sqrt{3}. Então
A=-\frac{1}{p_{2}-p_{1}}=-\frac{1}{-2\mathrm{j}\sqrt{3}}=\frac{1}{2\mathrm{j}\sqrt{3}}.
Como \dfrac{1}{\mathrm{j}}=-\mathrm{j}, fica
A=-\frac{\mathrm{j}}{2\sqrt{3}}.
E B=-A=\frac{\mathrm{j}}{2\sqrt{3}}.

Passo 5

Agora aplico a inversa: cada termo \dfrac{z}{z-p_i} corresponde a p_i^{\,n}u[n]. Portanto a sequência causal x[n] (para n\ge0) é
x[n]=A p_{1}^{\,n}+B p_{2}^{\,n},\qquad n\ge0.
Substituindo A,B e p_{1},p_{2}:
x[n]=-\frac{\mathrm{j}}{2\sqrt{3}}(1+\mathrm{j}\sqrt{3})^{n}+\frac{\mathrm{j}}{2\sqrt{3}}(1-\mathrm{j}\sqrt{3})^{n}.

Passo 6

Transformo essa expressão complexa em forma real usando a forma polar dos polos. Como p_{1}=2e^{\mathrm{j}\pi/3} e p_{2}=2e^{-\mathrm{j}\pi/3}, temos
(1+\mathrm{j}\sqrt{3})^{n}=p_{1}^{\,n}=2^{n}e^{\mathrm{j}n\pi/3},\qquad (1-\mathrm{j}\sqrt{3})^{n}=p_{2}^{\,n}=2^{n}e^{-\mathrm{j}n\pi/3}.
Substituindo em x[n]:
x[n]=\frac{\mathrm{j}}{2\sqrt{3}}\big(2^{n}e^{-\mathrm{j}n\pi/3}-2^{n}e^{\mathrm{j}n\pi/3}\big) = \frac{\mathrm{j}\,2^{n}}{2\sqrt{3}}\big(e^{-\mathrm{j}n\pi/3}-e^{\mathrm{j}n\pi/3}\big).
Use a identidade de Euler e^{-j\varphi}-e^{j\varphi}=-2\mathrm{j}\sin\varphi. Assim,
x[n]=\frac{\mathrm{j}\,2^{n}}{2\sqrt{3}}\big(-2\mathrm{j}\sin(n\pi/3)\big).
Como \mathrm{j}\cdot(-2\mathrm{j})=2 (porque \mathrm{j}^2=-1), isto simplifica para
x[n]=\frac{2^{n}}{\sqrt{3}}\sin\!\big(n\pi/3\big),\qquad n\ge0.
Por completude escrevemos multiplicando pela função degrau unitário u[n]:
x[n]=\frac{2^{n}}{\sqrt{3}}\sin\!\big(n\pi/3\big)\,u[n].

Resposta

x[n]=\frac{2^{n}}{\sqrt{3}}\sin\!\big(n\pi/3\big)\,u[n].

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