e pede para calcular \mathrm{A}^{25}. Vou listar claramente o que se pede e os dados úteis:
Dado: a matriz \mathrm{A} acima.
Pedido: calcular \mathrm{A}^{25} (a matriz \mathrm{A} elevada à potência 25).]
Passo 2
Ideia-chave que vamos usar (explicação didática): se uma matriz \mathrm{A} é diagonalizável, isto é, existe uma matriz inversível \mathrm{P} e uma matriz diagonal \mathrm{D} tais que
Aqui \mathrm{D} tem os autovalores (autovalores = raízes do polinômio característico) na diagonal, e \mathrm{D}^{n} é obtida elevando cada entrada da diagonal à potência n. Vamos seguir esse método: encontrar autovalores e autovetores, diagonalizar e usar a propriedade acima.
Passo 3
Calcular os autovalores de \mathrm{A} via o polinômio característico \det(\mathrm{A}-\lambda\mathrm{I})=0:
Como os autovalores \lambda_1 e \lambda_2 são distintos, a matriz 2\times2 é diagonalizável (regra prática: autovalores distintos garantem autovetores linearmente independentes). Agora vamos achar autovetores.
Para \lambda_1=1 resolvemos (\mathrm{A}-\mathrm{I})v=0:
Ou seja, \mathrm{A}^{25} é igual à própria \mathrm{A}. Isso acontece porque os autovalores são 1 e -1, e (-1)^{25}=-1, então a diagonal volta a ser a mesma.