Calcule:
(a)
, para
, usando definição.
(a)
Passo 1
O enunciado pede calcular
para
usando a definição da transformada de Laplace. Informação dada e objetivo:
- Função a transformar:
. - Domínio de
: . - Definição usada:
.
O objetivo é avaliar explicitamente a integrale obter uma expressão em .
Passo 2
Escrevendo a definição para este caso, definimos
com
. Antes de calcular, é útil trabalhar com a integral até um limite finito
e depois tomar
. Defina
No final faremos
. Essa estratégia evita problemas com manipulações de integrais impróprias.
Passo 3
Vamos calcular
por partes de integração duas vezes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
onde
e
são escolhidos de modo conveniente,
é a derivada de
e
. Aqui lidamos com produtos envolvendo
e funções trigonométricas; uma boa escolha leva a um sistema com as duas integrais (a de
e a de
).
Defina também a integral auxiliar
Passo 4
Aplicando integração por partes em
. Escolha
(então
) e
(então
, constante de integração desconsiderada em integrais definidas). Assim,
Simplificando o segundo termo e avaliando a primitiva nos extremos:
Como
e usando
, obtemos
(Esta é a primeira relação entre
e
.)
Passo 5
Agora aplicamos integração por partes em
. Escolha
(então
) e
(então
). Assim,
Avaliação do termo de fronteira dá
porque
. O segundo termo é
. Portanto
Passo 6
Substituímos a expressão de
obtida no Passo 5 na relação do Passo 4. Começando por
substitui-se
:
Agora simplificar cuidadosamente os termos.
Passo 7
Desenvolvendo e recolhendo termos em
:
Passando o termo
para o lado esquerdo:
Colocando em denominador único:
Mas é mais direto multiplicar ambos os lados por
para obter
Passo 8
Agora tomamos o limite
. Como
, temos
quando
. As funções
e
são limitadas (entre
e
), então os termos com
e
desaparecem no limite. Portanto
Isso mostra que a integral imprópria converge para esse valor quando
.
Passo 9
Comentário didático rápido e dica de prova: a técnica usada (integração por partes duas vezes e eliminação) é padrão para integrais do tipo
e
. No caso geral com frequência
obtém-se
para
. Outra via alternativa (às vezes mais rápida) é usar a representação em exponenciais complexas
e aplicar a integral de
, mas a integração por partes exibida aqui é mais direta e clássica para provas.