Calcule:
(a) \mathscr{L}\{\cos t\}, para s>0, usando definição.

Passo 1

O enunciado pede calcular \mathscr{L}\{\cos t\} para s>0 usando a definição da transformada de Laplace. Informação dada e objetivo:
  • Função a transformar: \cos t.
  • Domínio de s: s>0.
  • Definição usada: \mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
    O objetivo é avaliar explicitamente a integral \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt e obter uma expressão em s.

Passo 2

Escrevendo a definição para este caso, definimos
I=\mathscr{L}\{\cos t\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt,
com s>0. Antes de calcular, é útil trabalhar com a integral até um limite finito R e depois tomar R\to\infty. Defina
I(R)=\int_{0}^{R} e^{-st}\cos t\,dt.
No final faremos I=\lim_{R\to\infty} I(R). Essa estratégia evita problemas com manipulações de integrais impróprias.

Passo 3

Vamos calcular I(R) por partes de integração duas vezes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos de modo conveniente, du é a derivada de u e v=\int dv. Aqui lidamos com produtos envolvendo e^{-st} e funções trigonométricas; uma boa escolha leva a um sistema com as duas integrais (a de \cos e a de \sin).
Defina também a integral auxiliar
J(R)=\int_{0}^{R} e^{-st}\sin t\,dt.

Passo 4

Aplicando integração por partes em I(R). Escolha u=\cos t (então du=-\sin t\,dt) e dv=e^{-st}\,dt (então v=\int e^{-st}\,dt= -\dfrac{1}{s}e^{-st}, constante de integração desconsiderada em integrais definidas). Assim,
I(R)=\left[-\dfrac{1}{s}e^{-st}\cos t\right]_{0}^{R}-\int_{0}^{R}\left(-\dfrac{1}{s}e^{-st}\right)(- \sin t)\,dt.
Simplificando o segundo termo e avaliando a primitiva nos extremos:
I(R)= -\dfrac{1}{s}e^{-sR}\cos R +\dfrac{1}{s}\cos 0 \;-\; \dfrac{1}{s}\int_{0}^{R} e^{-st}\sin t\,dt.
Como \cos 0=1 e usando J(R), obtemos
I(R)=\dfrac{1}{s}\bigl(1-e^{-sR}\cos R\bigr)-\dfrac{1}{s}J(R).
(Esta é a primeira relação entre I(R) e J(R).)

Passo 5

Agora aplicamos integração por partes em J(R). Escolha u=\sin t (então du=\cos t\,dt) e dv=e^{-st}\,dt (então v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}). Assim,
J(R)=\left[-\dfrac{1}{s}e^{-st}\sin t\right]_{0}^{R}-\int_{0}^{R}\left(-\dfrac{1}{s}e^{-st}\right)\cos t\,dt.
Avaliação do termo de fronteira dá -\dfrac{1}{s}e^{-sR}\sin R -\bigl(-\dfrac{1}{s}e^{0}\sin 0\bigr)= -\dfrac{1}{s}e^{-sR}\sin R porque \sin 0=0. O segundo termo é +\dfrac{1}{s}\int_{0}^{R} e^{-st}\cos t\,dt = \dfrac{1}{s}I(R). Portanto
J(R) = -\dfrac{1}{s}e^{-sR}\sin R + \dfrac{1}{s}I(R).

Passo 6

Substituímos a expressão de J(R) obtida no Passo 5 na relação do Passo 4. Começando por
I(R)=\dfrac{1}{s}\bigl(1-e^{-sR}\cos R\bigr)-\dfrac{1}{s}J(R),
substitui-se J(R):
I(R)=\dfrac{1}{s}\bigl(1-e^{-sR}\cos R\bigr)-\dfrac{1}{s}\left(-\dfrac{1}{s}e^{-sR}\sin R + \dfrac{1}{s}I(R)\right).
Agora simplificar cuidadosamente os termos.

Passo 7

Desenvolvendo e recolhendo termos em I(R):
I(R)=\dfrac{1}{s}\bigl(1-e^{-sR}\cos R\bigr)+\dfrac{1}{s^2}e^{-sR}\sin R - \dfrac{1}{s^2}I(R).
Passando o termo \dfrac{1}{s^2}I(R) para o lado esquerdo:
I(R)\left(1+\dfrac{1}{s^2}\right)=\dfrac{1}{s}\bigl(1-e^{-sR}\cos R\bigr)+\dfrac{1}{s^2}e^{-sR}\sin R.
Colocando em denominador único:
I(R)\dfrac{s^2+1}{s^2}=\dfrac{s}{s^2+1}\bigl(1-e^{-sR}\cos R\bigr)\cdot\dfrac{s^2+1}{s}+\dfrac{1}{s^2}e^{-sR}\sin R.
Mas é mais direto multiplicar ambos os lados por s^2/(s^2+1) para obter
I(R)=\dfrac{s}{s^2+1}\bigl(1-e^{-sR}\cos R\bigr)+\dfrac{1}{s^2+1}e^{-sR}\sin R.

Passo 8

Agora tomamos o limite R\to\infty. Como s>0, temos e^{-sR}\to 0 quando R\to\infty. As funções \cos R e \sin R são limitadas (entre -1 e 1), então os termos com e^{-sR}\cos R e e^{-sR}\sin R desaparecem no limite. Portanto
I=\lim_{R\to\infty} I(R)=\dfrac{s}{s^2+1}.
Isso mostra que a integral imprópria converge para esse valor quando s>0.

Passo 9

Comentário didático rápido e dica de prova: a técnica usada (integração por partes duas vezes e eliminação) é padrão para integrais do tipo \int_0^\infty e^{-st}\cos(\omega t)\,dt e \int_0^\infty e^{-st}\sin(\omega t)\,dt. No caso geral com frequência \omega obtém-se
\mathscr{L}\{\cos(\omega t)\}(s)=\dfrac{s}{s^2+\omega^2},\qquad \mathscr{L}\{\sin(\omega t)\}(s)=\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2},
para s>0. Outra via alternativa (às vezes mais rápida) é usar a representação em exponenciais complexas \cos t=\tfrac{1}{2}(e^{it}+e^{-it}) e aplicar a integral de e^{-(s-i)t}, mas a integração por partes exibida aqui é mais direta e clássica para provas.

Resposta

\dfrac{s}{s^{2}+1}

Exercícios relacionados