Em
, quantas permutações são produtos de duas transposições disjuntas, como
?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantas permutações em
são produtos de duas transposições disjuntas, ou seja, têm a forma de duas 2-ciclos disjuntos e um ponto fixo (ex.:
).\n
Informações fornecidas e claras a partir do enunciado:
Informações fornecidas e claras a partir do enunciado:
- O grupo é
, as permutações agem no conjunto . - O tipo de permutação que queremos tem exatamente dois transposições disjuntas e um elemento fixo (ciclo-estrutura
). - Queremos contar quantas permutações distintas desse tipo existem.
Passo 2
Entendendo o que estamos contando (aula rápida e prática):
- Uma transposição é um 2-ciclo que troca dois elementos, por exemplo
. - Duas transposições são disjuntas quando atuam em elementos distintos (sem sobreposição). Ex.:
e são disjuntas; juntas elas fixam o elemento . - Ordem não importa:
representa a mesma permutação que . Também, dentro de uma transposição a ordem dos elementos não importa: .
Essa última observação é importante para não contar a mesma permutação várias vezes por causa de ordens diferentes.
Passo 3
Estratégia de contagem (ideia principal):
- Primeiro escolher quais
elementos dos serão movidos pelas transposições (os outros ficará fixo). - Depois, para esses
elementos, contar de quantas formas podemos dividi-los em dois pares (cada par será uma transposição).
Essa estratégia evita sobrecontagem se prestarmos atenção à ordem dos pares.
Passo 4
Contando quantas escolhas de
elementos existem:
- O número de maneiras de escolher
elementos de é . - Calculando:
.
Portanto háescolhas possíveis do conjunto de elementos que serão permutados (cada escolha corresponde a um diferente elemento fixo).
Passo 5
Para um conjunto fixo de
elementos, contar as formas de emparelhá-los em dois pares (ou seja, quantas descomposições em
-ciclos disjuntos):
Método direto e simples:
Método direto e simples:
- Escolher um par dentre os
elementos: isso pode ser feito de maneiras. - Depois que um par é escolhido, os dois elementos restantes formam obrigatoriamente o outro par (sem escolha).
- Mas aqui contamos cada particionamento em dois pares duas vezes, porque escolher primeiro o par
e depois o par é o mesmo que escolher primeiro e depois . Logo devemos dividir por . - Assim o número de particionamentos em dois pares é
.
Comentário adicional (fórmula conhecida): esse número também é o fatorial duplo, ou pode ser visto como (os vêm das trocas dentro de cada par e o último pela ordem entre pares).
Passo 6
Multiplicando as escolhas (princípio multiplicativo):
- Para cada uma das
escolhas do conjunto de elementos, há formas de emparelhá-los. - Logo o total de permutações do tipo
em é
Passo 7
Verificação via contagem alternativa (mesma resposta, outra via):
- Escolher a primeira transposição:
maneiras. - Escolher a segunda transposição entre os restantes
elementos: maneiras. - Isso conta cada permutação duas vezes, porque a ordem das duas transposições não importa. Então dividimos por
. - Resultado:
. Confere com o método anterior.