Em S_{5}, quantas permutações são produtos de duas transposições disjuntas, como (1,2)(3,4) ?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas permutações em S_{5} são produtos de duas transposições disjuntas, ou seja, têm a forma de duas 2-ciclos disjuntos e um ponto fixo (ex.: (1,2)(3,4)).\n
Informações fornecidas e claras a partir do enunciado:
  • O grupo é S_{5}, as permutações agem no conjunto \{1,2,3,4,5\}.
  • O tipo de permutação que queremos tem exatamente dois transposições disjuntas e um elemento fixo (ciclo-estrutura 2\text{-}2\text{-}1).
  • Queremos contar quantas permutações distintas desse tipo existem.

Passo 2

Entendendo o que estamos contando (aula rápida e prática):
  • Uma transposição é um 2-ciclo que troca dois elementos, por exemplo (1,2).
  • Duas transposições são disjuntas quando atuam em elementos distintos (sem sobreposição). Ex.: (1,2) e (3,4) são disjuntas; juntas elas fixam o elemento 5.
  • Ordem não importa: (1,2)(3,4) representa a mesma permutação que (3,4)(1,2). Também, dentro de uma transposição a ordem dos elementos não importa: (1,2)=(2,1).
    Essa última observação é importante para não contar a mesma permutação várias vezes por causa de ordens diferentes.

Passo 3

Estratégia de contagem (ideia principal):
  • Primeiro escolher quais 4 elementos dos 5 serão movidos pelas transposições (os outros 1 ficará fixo).
  • Depois, para esses 4 elementos, contar de quantas formas podemos dividi-los em dois pares (cada par será uma transposição).
    Essa estratégia evita sobrecontagem se prestarmos atenção à ordem dos pares.

Passo 4

Contando quantas escolhas de 4 elementos existem:
  • O número de maneiras de escolher 4 elementos de 5 é \binom{5}{4}.
  • Calculando: \binom{5}{4}=5.
    Portanto há 5 escolhas possíveis do conjunto de 4 elementos que serão permutados (cada escolha corresponde a um diferente elemento fixo).

Passo 5

Para um conjunto fixo de 4 elementos, contar as formas de emparelhá-los em dois pares (ou seja, quantas descomposições em 2-ciclos disjuntos):
Método direto e simples:
  • Escolher um par dentre os 4 elementos: isso pode ser feito de \binom{4}{2}=6 maneiras.
  • Depois que um par é escolhido, os dois elementos restantes formam obrigatoriamente o outro par (sem escolha).
  • Mas aqui contamos cada particionamento em dois pares duas vezes, porque escolher primeiro o par A e depois o par B é o mesmo que escolher primeiro B e depois A. Logo devemos dividir por 2.
  • Assim o número de particionamentos em dois pares é \dfrac{\binom{4}{2}}{2}=\dfrac{6}{2}=3.
    Comentário adicional (fórmula conhecida): esse número também é o fatorial duplo (4-1)!!=3, ou pode ser visto como \dfrac{4!}{2!2!\,2!}=3 (os /2! vêm das trocas dentro de cada par e o último /2! pela ordem entre pares).

Passo 6

Multiplicando as escolhas (princípio multiplicativo):
  • Para cada uma das \binom{5}{4}=5 escolhas do conjunto de 4 elementos, há 3 formas de emparelhá-los.
  • Logo o total de permutações do tipo 2\text{-}2\text{-}1 em S_{5} é
5 \times 3 = 15.

Passo 7

Verificação via contagem alternativa (mesma resposta, outra via):
  • Escolher a primeira transposição: \binom{5}{2}=10 maneiras.
  • Escolher a segunda transposição entre os restantes 3 elementos: \binom{3}{2}=3 maneiras.
  • Isso conta cada permutação duas vezes, porque a ordem das duas transposições não importa. Então dividimos por 2.
  • Resultado: \dfrac{10\cdot 3}{2}=15. Confere com o método anterior.

Resposta

15

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