Note que S_{4} tem 6 transposições, a saber: (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4) e (3,4). Mostre que o subconjunto V formado pela identidade I e os produtos de duas transposições disjuntas,
V=\{I,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\},
é um subgrupo abeliano de S_{4}. Escreva a tabela de multiplicação de V.

Passo 1

O enunciado dá o grupo simétrico \,S_{4}\, e o subconjunto
V=\{I,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}.
Pede-se para mostrar que V é um subgrupo abeliano de \,S_{4}\, e escrever a tabela de multiplicação de V.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há a identidade I em S_{4}.
  • As três outras elementos de V são produtos de duas transposições disjuntas: (1,2)(3,4), (1,3)(2,4) e (1,4)(2,3).
  • A composição de permutações segue a convenção usual (aplica-se a permutação da direita primeiro).

Passo 2

O que significa ser subgrupo e abeliano (em linguagem direta):
  • Subgrupo: um subconjunto não vazio H de um grupo G é subgrupo se (i) contém a identidade de G, (ii) é fechado sob o produto (se x,y\in H então xy\in H), e (iii) todo elemento de H tem inverso em H. (A associatividade já vem de G.) Para conjuntos finitos não vazios, basta verificar fechamento sob produto e presença da identidade, porque inversos também ficam dentro.
  • Abeliano: é comutativo, isto é, todo par de elementos comuta: xy=yx para todos x,y\in H.
Vou usar esses critérios passo a passo para V.

Passo 3

Propriedades dos elementos de V que vamos usar (explicadas):
  • Uma transposição como (1,2) tem ordem 2: (1,2)^2=I. Se duas transposições são disjuntas, por exemplo (1,2) e (3,4), então elas agem em elementos diferentes e, portanto, comutam: (1,2)(3,4)=(3,4)(1,2).
  • Um produto de duas transposições disjuntas, por exemplo (1,2)(3,4), também tem ordem 2. Raciocínio: (1,2)(3,4) comuta com cada fator e cada fator tem ordem 2, então
\big((1,2)(3,4)\big)^2=(1,2)(3,4)(1,2)(3,4)=\big((1,2)^2\big)\big((3,4)^2\big)=I\cdot I=I.
Logo cada um dos três elementos não-identidade de V é de ordem 2, isto é, é seu próprio inverso.
Isso mostra já que a identidade I e os inversos dos elementos de V estão em V (cada não-id é seu próprio inverso).

Passo 4

Fechamento: calcular produtos entre os elementos e verificar que o resultado permanece em V.
Denote
a=(1,2)(3,4),\qquad b=(1,3)(2,4),\qquad c=(1,4)(2,3).
Já sabemos que I é identidade e I\cdot x=x\cdot I=x para todo x.
Vamos calcular um produto representativo e os demais seguem padrão semelhante. Lembre que composições aplicam a permutação da direita primeiro.
Cálculo de a\cdot b:
  • Aplique b=(1,3)(2,4) primeiro: 1\mapsto3,\;2\mapsto4,\;3\mapsto1,\;4\mapsto2.
  • Depois aplique a=(1,2)(3,4): 1\mapsto2,\;2\mapsto1,\;3\mapsto4,\;4\mapsto3.
    Compondo ponto a ponto:
  • 1 \xrightarrow{b} 3 \xrightarrow{a} 4, então 1\mapsto4.
  • 4 \xrightarrow{b} 2 \xrightarrow{a} 1, então 4\mapsto1. Assim existe o ciclo (1,4).
  • 2 \xrightarrow{b} 4 \xrightarrow{a} 3, então 2\mapsto3.
  • 3 \xrightarrow{b} 1 \xrightarrow{a} 2, então 3\mapsto2. Assim existe o ciclo (2,3).
Portanto
a\cdot b=(1,4)(2,3)=c.
Como cada um tem ordem 2, os outros produtos seguem:
a\cdot a=I,\qquad b\cdot b=I,\qquad c\cdot c=I.
E calculando os demais (ou usando simetria dos papéis):
a\cdot c=b,\qquad b\cdot c=a.
Também pode-se verificar diretamente que b\cdot a=(1,4)(2,3)=c, etc., ou seja, os produtos são independentes da ordem: a b=b a, a c=c a, b c=c b. Assim todos os pares comutam.
Logo V é fechado sob multiplicação, contém a identidade e contém inversos de seus elementos (cada elemento é inverso de si mesmo). A associatividade é herdada de S_{4}. Portanto V é um subgrupo de S_{4}.
Como toda par de elementos de V comuta (ver os produtos acima), V é abeliano.

Passo 5

Tabelinha explícita da multiplicação em V. Ordenando as colunas/linhas como I,a,b,c com a=(1,2)(3,4), b=(1,3)(2,4), c=(1,4)(2,3), tem-se:
\begin{array}{c|cccc} \cdot & I & (1,2)(3,4) & (1,3)(2,4) & (1,4)(2,3) \\\ \hline I & I & (1,2)(3,4) & (1,3)(2,4) & (1,4)(2,3) \\\ (1,2)(3,4) & (1,2)(3,4) & I & (1,4)(2,3) & (1,3)(2,4) \\\ (1,3)(2,4) & (1,3)(2,4) & (1,4)(2,3) & I & (1,2)(3,4) \\\ (1,4)(2,3) & (1,4)(2,3) & (1,3)(2,4) & (1,2)(3,4) & I \end{array}

Passo 6

Conclusão didática e motivadora: V tem quatro elementos, contém a identidade, todos os seus elementos têm ordem 2 (são auto-inversos), e os produtos entre eles fecham no próprio conjunto formando a tabela acima. Portanto V é um subgrupo de \,S_{4} e, como a tabela mostra, esse subgrupo é abeliano (comutativo). Este é o conhecido grupo de Klein de ordem 4, frequentemente denotado por V_4 ou \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2.

Resposta

V é um subgrupo abeliano de S_{4}.
\begin{array}{c|cccc} \cdot & I & (1,2)(3,4) & (1,3)(2,4) & (1,4)(2,3) \\\ \hline I & I & (1,2)(3,4) & (1,3)(2,4) & (1,4)(2,3) \\\ (1,2)(3,4) & (1,2)(3,4) & I & (1,4)(2,3) & (1,3)(2,4) \\\ (1,3)(2,4) & (1,3)(2,4) & (1,4)(2,3) & I & (1,2)(3,4) \\\ (1,4)(2,3) & (1,4)(2,3) & (1,3)(2,4) & (1,2)(3,4) & I \end{array}

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