Note que
tem 6 transposições, a saber:
e
. Mostre que o subconjunto
formado pela identidade
e os produtos de duas transposições disjuntas,
é um subgrupo abeliano de
. Escreva a tabela de multiplicação de
.
Passo 1
O enunciado dá o grupo simétrico
e o subconjunto
Pede-se para mostrar que
é um subgrupo abeliano de
e escrever a tabela de multiplicação de
.
Informações relevantes fornecidas:
- Há a identidade
em . - As três outras elementos de
são produtos de duas transposições disjuntas: , e . - A composição de permutações segue a convenção usual (aplica-se a permutação da direita primeiro).
Passo 2
O que significa ser subgrupo e abeliano (em linguagem direta):
- Subgrupo: um subconjunto não vazio
de um grupo é subgrupo se (i) contém a identidade de , (ii) é fechado sob o produto (se então ), e (iii) todo elemento de tem inverso em . (A associatividade já vem de .) Para conjuntos finitos não vazios, basta verificar fechamento sob produto e presença da identidade, porque inversos também ficam dentro. - Abeliano: é comutativo, isto é, todo par de elementos comuta:
para todos .
Vou usar esses critérios passo a passo para
.
Passo 3
Propriedades dos elementos de
que vamos usar (explicadas):
- Uma transposição como
tem ordem : . Se duas transposições são disjuntas, por exemplo e , então elas agem em elementos diferentes e, portanto, comutam: . - Um produto de duas transposições disjuntas, por exemplo
, também tem ordem . Raciocínio: comuta com cada fator e cada fator tem ordem , então
Logo cada um dos três elementos não-identidade de
é de ordem
, isto é, é seu próprio inverso.
Isso mostra já que a identidade
e os inversos dos elementos de
estão em
(cada não-id é seu próprio inverso).
Passo 4
Fechamento: calcular produtos entre os elementos e verificar que o resultado permanece em
.
Denote
Já sabemos que
é identidade e
para todo
.
Vamos calcular um produto representativo e os demais seguem padrão semelhante. Lembre que composições aplicam a permutação da direita primeiro.
Cálculo de
:
- Aplique
primeiro: . - Depois aplique
: .
Compondo ponto a ponto: -
, então . -
, então . Assim existe o ciclo . -
, então . -
, então . Assim existe o ciclo .
Portanto
Como cada um tem ordem
, os outros produtos seguem:
E calculando os demais (ou usando simetria dos papéis):
Também pode-se verificar diretamente que
, etc., ou seja, os produtos são independentes da ordem:
,
,
. Assim todos os pares comutam.
Logo
é fechado sob multiplicação, contém a identidade e contém inversos de seus elementos (cada elemento é inverso de si mesmo). A associatividade é herdada de
. Portanto
é um subgrupo de
.
Como toda par de elementos de
comuta (ver os produtos acima),
é abeliano.
Passo 5
Tabelinha explícita da multiplicação em
. Ordenando as colunas/linhas como
com
,
,
, tem-se:
Passo 6
Conclusão didática e motivadora:
tem quatro elementos, contém a identidade, todos os seus elementos têm ordem
(são auto-inversos), e os produtos entre eles fecham no próprio conjunto formando a tabela acima. Portanto
é um subgrupo de
e, como a tabela mostra, esse subgrupo é abeliano (comutativo). Este é o conhecido grupo de Klein de ordem
, frequentemente denotado por
ou
.