calcule mathscr{L}{f(t)} para f(t)=t e^{4 t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace \mathscr{L}\{f(t)\} de f(t)=t e^{4t}. Para isso vamos usar a definição da transformada de Laplace e uma fórmula padrão de integrais impróprias envolvendo t.

Passo 2

Pela definição temos
\mathscr{L}\{t e^{4t}\} =\int_{0}^{\infty} t\,e^{4t}\,e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty} t\,e^{-(s-4)t}\,dt.
Para que essa integral convirja precisamos de \Re(s-4)>0, ou seja, \Re(s)>4.

Passo 3

Usamos a fórmula bem conhecida
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-a t}\,dt=\frac{1}{a^{2}}, \quad a>0,
que também pode ser obtida por integração por partes ou pela função gama.

Passo 4

Aqui a=s-4. Substituindo na fórmula obtemos
\mathscr{L}\{t e^{4t}\} =\frac{1}{(s-4)^{2}}, \quad \Re(s)>4.

Resposta

\displaystyle \mathscr{L}\{t e^{4t}\}=\frac{1}{(s-4)^{2}},\;s>4.

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