O enunciado dá duas matrizes A e B e pede, para cada uma: (i) a matriz adjunta (adjugata), (ii) o determinante e (iii) a inversa usando a adjunta. As matrizes são:
\operatorname{adj}(\cdot) (adjunta = transposta da matriz de cofatores),
\det(\cdot),
(\cdot)^{-1}=\dfrac{1}{\det(\cdot)}\operatorname{adj}(\cdot) (quando \det\neq0).]
Passo 2
Breve revisão do método (passo-a-passo, sem pular etapas):
Menor de ordem 2: para uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}o determinante é \det=\,ad-bc. Isto é a fórmula que usaremos sempre que precisar do determinante de uma submatriz 2\times2.
Menor M_{ij} de uma matriz 3\times3: é o determinante do 2\times2 que sobra quando se elimina a linha i e a coluna j.
Cofator C_{ij}: definido por C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Matriz de cofatores: matriz cujas entradas são C_{ij}.
Adjunta (adjugata): \operatorname{adj}(A)=(\text{matriz de cofatores de }A)^{T}.
Determinante de 3\times3 por expansão na primeira linha (fórmula):\det(A)=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13},onde cada M_{1j} é o menor correspondente.
Agora aplico esses passos primeiro em A e depois em B, calculando todos os menores, cofatores e fazendo as simplificações.
Passo 3
Cálculo do determinante de A por expansão na primeira linha.
As entradas da primeira linha são a_{11}=2,\; a_{12}=1,\; a_{13}=-3.
Calculo os menores 2\times2: