Calcule a matriz adjunta, o determinante e a inversa ( usando a adjunta) das matrizes :
  • A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -3 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 5 & 1 & 3\end{array}\right]
  • B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B e pede, para cada uma: (i) a matriz adjunta (adjugata), (ii) o determinante e (iii) a inversa usando a adjunta. As matrizes são:
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -3 \\[4pt] 0 & 2 & 1 \\[4pt] 5 & 1 & 3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 1 & -1 \\[4pt] 0 & -2 & 1\end{pmatrix}.
O que será calculado para cada matriz:
  • \operatorname{adj}(\cdot) (adjunta = transposta da matriz de cofatores),
  • \det(\cdot),
  • (\cdot)^{-1}=\dfrac{1}{\det(\cdot)}\operatorname{adj}(\cdot) (quando \det\neq0).]

Passo 2

Breve revisão do método (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Menor de ordem 2: para uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}o determinante é \det=\,ad-bc. Isto é a fórmula que usaremos sempre que precisar do determinante de uma submatriz 2\times2.
  • Menor M_{ij} de uma matriz 3\times3: é o determinante do 2\times2 que sobra quando se elimina a linha i e a coluna j.
  • Cofator C_{ij}: definido por C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • Matriz de cofatores: matriz cujas entradas são C_{ij}.
  • Adjunta (adjugata): \operatorname{adj}(A)=(\text{matriz de cofatores de }A)^{T}.
  • Determinante de 3\times3 por expansão na primeira linha (fórmula): \det(A)=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13},onde cada M_{1j} é o menor correspondente.
  • Inversa (se \det(A)\neq0): A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Agora aplico esses passos primeiro em A e depois em B, calculando todos os menores, cofatores e fazendo as simplificações.

Passo 3

Cálculo do determinante de A por expansão na primeira linha.
As entradas da primeira linha são a_{11}=2,\; a_{12}=1,\; a_{13}=-3.
Calculo os menores 2\times2:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt] 1 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-1\cdot1=6-1=5.
M_{12}=\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt] 5 & 3\end{pmatrix}=0\cdot3-1\cdot5=0-5=-5.
M_{13}=\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[2pt] 5 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-2\cdot5=0-10=-10.
Agora a expansão:
\det(A)=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13} =2\cdot5-1\cdot(-5)+(-3)\cdot(-10).
Calculo cada termo:
2\cdot5=10,\qquad -1\cdot(-5)=+5,\qquad (-3)\cdot(-10)=+30.
Somando,
\det(A)=10+5+30=45.]

Passo 4

Cálculo da matriz de cofatores de A. Já temos alguns menores; vou calcular todos M_{ij} e os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Linha 1 (já feita):
M_{11}=5,\quad C_{11}=+5.
M_{12}=-5,\quad C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot(-5)=+5.
M_{13}=-10,\quad C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+1\cdot(-10)=-10.
Linha 2:
Calculo os menores removendo linha 2:
M_{21}=\det\begin{pmatrix}1 & -3\\[2pt] 1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-(-3)\cdot1=3+3=6,
C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot6=-6.
M_{22}=\det\begin{pmatrix}2 & -3\\[2pt] 5 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-(-3)\cdot5=6+15=21,
C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+1\cdot21=21.
M_{23}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt] 5 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot5=2-5=-3,
C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot(-3)=+3.
Linha 3:
Removendo linha 3:
M_{31}=\det\begin{pmatrix}1 & -3\\[2pt] 2 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-3)\cdot2=1+6=7,
C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+1\cdot7=7.
M_{32}=\det\begin{pmatrix}2 & -3\\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-(-3)\cdot0=2-0=2,
C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot2=-2.
M_{33}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt] 0 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-1\cdot0=4,
C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=+1\cdot4=4.
Assim, a matriz de cofatores de A é
\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13}\\[2pt] C_{21} & C_{22} & C_{23}\\[2pt] C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 5 & -10\\[2pt] -6 & 21 & 3\\[2pt] 7 & -2 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 5

A adjunta (adjugata) é a transposta da matriz de cofatores. Então
\operatorname{adj}(A)= \begin{pmatrix} 5 & -6 & 7\\[2pt] 5 & 21 & -2\\[2pt] -10 & 3 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora a inversa de A (usando \det(A)=45) é
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\dfrac{1}{45} \begin{pmatrix} 5 & -6 & 7\\[2pt] 5 & 21 & -2\\[2pt] -10 & 3 & 4 \end{pmatrix}.
Faço simplificações de frações entrada a entrada para ficar num formato com frações reduzidas:
\begin{pmatrix} \dfrac{5}{45} & \dfrac{-6}{45} & \dfrac{7}{45}\\[6pt] \dfrac{5}{45} & \dfrac{21}{45} & \dfrac{-2}{45}\\[6pt] \dfrac{-10}{45} & \dfrac{3}{45} & \dfrac{4}{45} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{9} & -\dfrac{2}{15} & \dfrac{7}{45}\\[6pt] \dfrac{1}{9} & \dfrac{7}{15} & -\dfrac{2}{45}\\[6pt] -\dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{15} & \dfrac{4}{45} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora aplico o mesmo processo para B.
Cálculo do determinante de B por expansão na primeira linha. Entradas da primeira linha: b_{11}=1,\; b_{12}=1,\; b_{13}=0.
Menores:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt] -2 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-1)\cdot(-2)=1-2=-1.
M_{12}=\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-1)\cdot0=1-0=1.
M_{13}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt] 0 & -2\end{pmatrix}=1\cdot(-2)-1\cdot0=-2-0=-2,
porém b_{13}=0, então o terceiro termo da expansão será zero.
Expansão:
\det(B)=b_{11}M_{11}-b_{12}M_{12}+b_{13}M_{13} =1\cdot(-1)-1\cdot1+0\cdot(-2)=-1-1+0=-2.]

Passo 8

Matriz de cofatores de B. Calculo todos M_{ij} e C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Linha 1:
M_{11}=-1,\quad C_{11}=+(-1)=-1.
M_{12}=1,\quad C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot1=-1.
M_{13}=-2,\quad C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+1\cdot(-2)=-2.
Linha 2 (removendo linha 2):
M_{21}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt] -2 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot(-2)=1, \quad C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot1=-1.
M_{22}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot0=1, \quad C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+1\cdot1=1.
M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt] 0 & -2\end{pmatrix}=1\cdot(-2)-1\cdot0=-2, \quad C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot(-2)=2.
Linha 3 (removendo linha 3):
M_{31}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt] 1 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-0\cdot1=-1, \quad C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+1\cdot(-1)=-1.
M_{32}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt] 1 & -1\end{pmatrix}=-1\quad(\text{o mesmo cálculo}), \quad C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot(-1)=1.á
M_{33}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt] 1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot1=0, \quad C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=+1\cdot0=0.
Portanto a matriz de cofatores de B é
\begin{pmatrix} -1 & -1 & -2\\[2pt] -1 & 1 & 2\\[2pt] -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Adjunta de B = transposta da matriz de cofatores:
\operatorname{adj}(B)= \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1\\[2pt] -1 & 1 & 1\\[2pt] -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Como \det(B)=-2\neq0, a inversa é
B^{-1}=\dfrac{1}{\det(B)}\operatorname{adj}(B)=\dfrac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1\\[2pt] -1 & 1 & 1\\[2pt] -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Multiplicando por -\dfrac{1}{2} e simplificando entrad a a entrada:
B^{-1}= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2}\\[6pt] \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}5 & -6 & 7\\[2pt]5 & 21 & -2\\[2pt]-10 & 3 & 4\end{pmatrix}
\displaystyle \det(A)=45
\displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{9} & -\dfrac{2}{15} & \dfrac{7}{45}\\[6pt]\dfrac{1}{9} & \dfrac{7}{15} & -\dfrac{2}{45}\\[6pt]-\dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{15} & \dfrac{4}{45}\end{pmatrix}
\displaystyle \operatorname{adj}(B)=\begin{pmatrix}-1 & -1 & -1\\[2pt]-1 & 1 & 1\\[2pt]-2 & 2 & 0\end{pmatrix}
\displaystyle \det(B)=-2
\displaystyle B^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2}\\[6pt]\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt]1 & -1 & 0\end{pmatrix}]

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