Seja A=\left[\begin{array}{cc}2 & x^{2} \\\\ 2 x-1 & 0\end{array}\right].
Se A é uma matriz triangular superior, então A^{\prime}= ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & x^{2} \\[4pt] 2x-1 & 0\end{pmatrix}
e pede A' sob a hipótese de que A é triangular superior. Vamos listar claramente o que isso significa e as informações que temos:
  • Para A ser triangular superior, o elemento abaixo da diagonal principal na posição (2,1) deve ser zero. Ou seja, é necessário que
2x-1=0.
  • A partir disso podemos encontrar o valor de x que torna A triangular superior:
2x-1=0\quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}.
  • O enunciado pede A'. Neste contexto, vamos entender A' como a derivada da matriz A em relação ao parâmetro escalar x (notação usual quando uma matriz depende de uma variável). A resolução verdadeira começa agora.]

Passo 2

Breve explicação didática: o que significa derivar uma matriz que depende de x?
  • Se A(x) é uma matriz cujas entradas são funções de x, a derivada A'(x) é obtida derivando cada entrada separadamente (derivada entrada a entrada). Isso porque operação de derivação é aplicada componente a componente.
  • Em fórmula: se
A(x)=\begin{pmatrix}a_{11}(x) & a_{12}(x) \\[4pt] a_{21}(x) & a_{22}(x)\end{pmatrix},
então
A'(x)=\begin{pmatrix}a_{11}'(x) & a_{12}'(x) \\[4pt] a_{21}'(x) & a_{22}'(x)\end{pmatrix},
onde cada a_{ij}'(x) é a derivada usual de uma função de uma variável. Isso é simples e prático na prova: deriva-se célula por célula.]

Passo 3

Aplicando a regra entrada a entrada ao nosso A(x):
  • Derivada de 2 em relação a x é 0.
  • Derivada de x^{2} é 2x.
  • Derivada de 2x-1 é 2.
  • Derivada de 0 é 0.
Portanto, a derivada simbólica é
A'(x)=\begin{pmatrix}0 & 2x \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora usamos a hipótese: A é triangular superior, logo x=\tfrac{1}{2} (como achamos no Passo 1). Substituímos x=\tfrac{1}{2} em A'(x):
  • 2x torna-se 2\cdot\tfrac{1}{2}=1.
Assim obtemos
A'=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}]

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