Seja A=\left[\begin{array}{cc}2 & x^{2} \\\\ 2 x-1 & 0\end{array}\right].
Se A é uma matriz diagonal, então A^{\prime}= ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & x^{2}\\[4pt] 2x-1 & 0\end{pmatrix}
e pergunta: se A é uma matriz diagonal, então qual é A'?
Informações relevantes fornecidas:
  • As entradas de A dependem do parâmetro \,x.
  • Precisa-se relacionar a hipótese " A é diagonal" com o que se pede sobre A'.]

Passo 2

Primeiro é preciso entender o que significa A'. Aqui vamos interpretar A' como a transposta de A (notação comum: a linha vira coluna). Para uma matriz genérica
B=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
a transposta é
B'=\begin{pmatrix}a & c\\[4pt] b & d\end{pmatrix}.
Aplicando isso a A, trocamos as entradas fora da diagonal principal. Assim, calculamos explicitamente
A'=\begin{pmatrix}2 & 2x-1\\[4pt] x^{2} & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora lembrar o que é uma matriz diagonal: é uma matriz cujas entradas fora da diagonal principal são nulas. No caso de A isso exige simultaneamente
x^{2}=0 \qquad\text{e}\qquad 2x-1=0.
Resolvendo cada equação:
x^{2}=0 \Rightarrow x=0, \qquad 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}.
Esses dois valores são diferentes, logo não existe valor de x que torne A diagonal. Em outras palavras, a hipótese " A é diagonal" é impossível para qualquer x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Mesmo assim, vale uma propriedade geral e útil: toda matriz diagonal é igual à sua transposta (porque as entradas fora da diagonal são zeros e ao trocar linhas por colunas nada muda). Em forma geral, se
D=\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt] 0 & d\end{pmatrix}
então
D'=\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt] 0 & d\end{pmatrix}=D.
Portanto, sob a hipótese (hipotética) de que A fosse diagonal, teria-se A'=A.]

Passo 5

Síntese final e observação lógica: calculamos a transposta geral de A (Passo 2). A condição de diagonalidade para A é impossível (Passo 3). Contudo, a afirmação "se A é diagonal, então A'=\dots" resulta em A'=A, pois toda matriz diagonal coincide com sua transposta. Note que essa conclusão é uma consequência da propriedade geral das matrizes diagonais; para o A dado não existe x que realize a hipótese.

Resposta

A'=A

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