Calcule a matriz adjunta das matrizes
(a) A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -2 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4 \\\\ -1 & 6 & -3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede a matriz adjunta (ou adjugata) de
A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1\\\\ 3 & 2 & 4\\\\ -1 & 6 & -3 \end{pmatrix}.
Este é um exercício de determinantes e matrizes inversas: para obter a adjunta de A precisamos calcular a matriz de cofatores de A e depois transpor essa matriz.

Passo 2

Para cada entrada a_{ij} de A definimos o menor M_{ij} como o determinante da submatriz que sobra ao eliminar a linha i e a coluna j, e o cofator é
C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}.
Calculando rapidamente os menores e aplicando o sinal, por exemplo para a primeira linha:
M_{11} = \det\begin{pmatrix}2 & 4\\\ 6 & -3\end{pmatrix} = 2\cdot(-3)-4\cdot6=-30,\quad C_{11}=+(-30)=-30,
M_{12} = \det\begin{pmatrix}3 & 4\\\ -1 & -3\end{pmatrix}=3\cdot(-3)-4\cdot(-1)=-5,\quad C_{12}= -(-5)=5,
M_{13} = \det\begin{pmatrix}3 & 2\\\ -1 & 6\end{pmatrix}=3\cdot6-2\cdot(-1)=20,\quad C_{13}=+20.
Analogamente para as outras linhas obtemos a matriz de cofatores
C = \begin{pmatrix} -30 & 5 & 20\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ -10 & 3 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 3

A matriz adjunta de A é a transposta da matriz de cofatores, ou seja
\operatorname{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} -30 & 0 & -10\\\\ 5 & 1 & 3\\\\ 20 & 2 & 6 \end{pmatrix}.

Resposta

\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} -30 & 0 & -10\\\\ 5 & 1 & 3\\\\ 20 & 2 & 6 \end{pmatrix}.

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