Calcule a Matriz Inversa das seguintes matrizes (quando possível):
\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}
Isso envolve dois conceitos principais de Álgebra Linear: o determinante de uma matriz 2\times2 e a fórmula direta para sua inversa quando o determinante é não nulo.

Passo 2

Calculamos o determinante de A. Para uma matriz \displaystyle A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
temos
\det(A)=ad - bc.
No nosso caso, a=1, b=2, c=3, d=4, então
\det(A)=1\cdot4 - 2\cdot3 = 4 - 6 = -2.

Passo 3

Como \det(A)=-2 \neq 0, a matriz A é invertível. A fórmula da inversa de uma matriz 2\times2 é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}.

Passo 4

Substituímos os valores e simplificamos:
A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2\\\\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{-2} & \frac{-2}{-2}\\[6pt] \frac{-3}{-2} & \frac{1}{-2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1\\[4pt] \frac{3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1\\[4pt] \tfrac{3}{2} & -\tfrac12 \end{pmatrix}.]

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