Calcule a Matriz Inversa das seguintes matrizes (quando possível):
\left[\begin{array}{ll}4 & 7 \\\\ 2 & 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix}4 & 7\\\ 2 & 6\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é “inversa de matriz 2\times 2”: vamos precisar calcular o determinante de A e usar a fórmula que envolve a matriz adjunta.

Passo 2

Calculamos o determinante de A. Se A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}, então
\det(A)=ad-bc.
No nosso caso a=4, b=7, c=2, d=6, logo
\det(A)=4\cdot6-7\cdot2=24-14=10.
Como \det(A)\neq0, a inversa existe.

Passo 3

A fórmula para a inversa de uma matriz 2\times 2 é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Substituindo a=4, b=7, c=2, d=6 e \det(A)=10, a matriz adjunta é
\begin{pmatrix}6 & -7\\\ -2 & 4\end{pmatrix}
e multiplicamos tudo por 1/10.

Passo 4

Multiplicando cada entrada por 1/10 e simplificando frações, obtemos
A^{-1} =\frac{1}{10}\begin{pmatrix}6 & -7\\\ -2 & 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{6}{10} & -\tfrac{7}{10}\\[6pt]-\tfrac{2}{10} & \tfrac{4}{10}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{3}{5} & -\tfrac{7}{10}\\[6pt]-\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5}\end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{5} & -\tfrac{7}{10}\\[6pt]-\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5}\end{pmatrix}.]

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