Calcule a Matriz Inversa das seguintes matrizes (quando possível):
\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
M = \begin{pmatrix}2 & -1 \\[6pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é a fórmula para inversão de matrizes 2\times2, que requer calcular o determinante e usar a matriz adjunta.]

Passo 2

Primeiro, calculamos o determinante de M, dado por
\det(M) = a\,d - b\,c
onde a=2, b=-1, c=1 e d=1. Logo,
\det(M) = 2\cdot1 - (-1)\cdot1 = 2 + 1 = 3.

Passo 3

Como \det(M)=3\neq0, M é invertível. A fórmula da inversa de uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
é
M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.

Passo 4

Substituindo a=2, b=-1, c=1, d=1 na fórmula, a matriz adjunta é
\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix},
então
M^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\[4pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3}\end{pmatrix}.]

Resposta

M^{-1} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\[4pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3}\end{pmatrix}.]

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