Calcule a Matriz Inversa das seguintes matrizes (quando possível):
\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 \\\\ 5 & 6 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[6pt] 0 & 1 & 4 \\[3pt] 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo é cálculo de matriz inversa via eliminação de Gauss-Jordan: vamos montar a matriz aumentada [A\mid I] e transformá-la até obter [I\mid A^{-1}].]

Passo 2

Montamos a matriz aumentada [A\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\[3pt] 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 3

Zeramos o elemento da posição (3,1) com
R_{3}\leftarrow R_{3}-5\,R_{1}.
Fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\[3pt] 0 & -4 & -15 & -5 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Zeramos o elemento da posição (3,2) com
R_{3}\leftarrow R_{3}+4\,R_{2}.
Fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array}\right]]

Passo 5

Eliminamos os elementos acima do pivô da 3ª linha aplicando
R_{2}\leftarrow R_{2}-4\,R_{3}, \quad R_{1}\leftarrow R_{1}-3\,R_{3}.
Obtém-se
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 16 & -12 & -3 \\[3pt] 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Zeramos o elemento da posição (1,2) com
R_{1}\leftarrow R_{1}-2\,R_{2}.
Assim chegamos a
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -24 & 18 & 5 \\[3pt] 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array}\right]]

Passo 7

A porção esquerda já é a matriz identidade, logo a porção direita é A^{-1}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\[3pt] 20 & -15 & -4 \\[3pt] -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}]

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